Главная >> Алгебра 7 класс Мордкович

Глава 8. Функция у = х²

§ 37. Функция у = х² и её график

В главе 2 мы ввели термин «линейная функция», понимая под этим линейное уравнение вида у = kx + m с двумя переменными х, у. Правда, переменные х, у, фигурирующие в этом уравнении (в этой математической модели), считались неравноправными: х — независимая переменная (аргумент), которой мы могли придавать любые значения, независимо ни от чего; у — зависимая переменная, поскольку её значение зависело от того, какое значение переменной х было выбрано.

Но тогда возникает естественный вопрос: а не встречаются ли математические модели такого же плана, но такие, у которых у выражается через х не по формуле у = kx + m, а каким-то иным способом? Ответ ясен: конечно, встречаются. Если, например, х — сторона квадрата, а у — его площадь, то у = х². Если х — сторона куба, а у — его объём, то у = х³. Если х — одна сторона прямоугольника, площадь которого равна 100 см², а у — другая его сторона, то . Поэтому, естественно, приходится изучать и модель у = х², и модель у = х , и модель , и многие другие модели, имеющие такую же структуру: в левой части равенства находится переменная у, а в правой — какое-то выражение с переменной х. Для таких моделей сохраняют термин «функция», опуская прилагательное «линейная».

Замечание. Выше мы уже не раз говорили о том, как обстоит дело в математике с новыми понятиями, новыми терминами. Часто бывает так: ввели новое понятие, работают с ним, но затем, по мере дальнейшего изучения математики, начинают осознавать, что введённое понятие требует уточнения, развития. Именно так обстояло дело с понятием «тождество». Точно так же обстоит дело и с понятием «функция». Мы ещё довольно долго будем привыкать к нему, набираться опыта, работать с этим понятием, пока не придём к строгому определению (это будет в 9-м классе).

В этом параграфе мы рассмотрим функцию у = х² и построим её график.

Дадим независимой переменной х несколько конкретных значений и вычислим соответствующие значения зависимой переменной у (по формуле у = х²):

если х = 0, то у = 0² = 0;
если х = 1, то y = 1² = 1;
если х = 2, то у = 2² = 4;
если х = 3, то у = 3² = 9;
если х = -1, то у = (-1)² = 1;
если х = -2, то у = (-2)² = 4;
если х = -3, то у = (-3)² = 9.

Короче говоря, мы составили следующую таблицу:

Построим найденные точки (0; 0), (1; 1), (2; 4), (3; 9), (-1; 1), (-2; 4), (-3; 9) на координатной плоскости хОу (рис. 56, а). Эти точки расположены на некоторой линии, начертим её (рис. 56,б). Эту линию называют параболой.

Конечно, в идеале надо было дать аргументу х все возможные значения, вычислить соответствующие значения переменной у и построить полученные точки (х; у). Тогда график был бы абсолютно точным, безупречным. Однако это нереально, ведь таких точек бесконечно много. Поэтому математики поступают так: берут конечное множество точек, строят их на координатной плоскости и смотрят, какая линия намечается этими точками. Если контуры этой линии проявляются достаточно отчётливо (как это было у нас, скажем, в примере 1 из § 7, см. с. 40), то эту линию проводят. Возможны ли ошибки? Не без этого. Поэтому и надо всё глубже и глубже изучать математику, чтобы были возможности избегать ошибок.

Продолжение >>>