§ 4. Линейное уравнение с одной переменной

Одним из самых простых и в то же время очень важных видов математических моделей реальных ситуаций являются известные вам из курса математики 5—6-го классов линейные уравнения с одной переменной. Приведём примеры линейных уравнений: 3х = 12, by - 10 = 0, 2а + 7 = 0 и т. д.

Решить линейное уравнение — это значит найти все те значения переменной, при каждом из которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Каждое такое значение переменной называют корнем уравнения. Так, уравнение 3х = 12 имеет корень х = 4, поскольку 3 • 4 = 12 — верное равенство, причём других корней нет; уравнение 5y - 10 = 0 имеет корень у = 2, поскольку 5 • 2 - 10 = 0 — верное равенство, причём других корней нет; уравнение 2а + 7 = 0 имеет корень а = -3,5, поскольку 2 • (-3,5) + 7 = 0 — верное равенство, причём других корней нет.

Вообще линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида ах + b = 0, где а и b — любые числа (коэффициенты). Если а = 0 и b = 0, т. е. уравнение имеет вид 0 • х + 0 = 0, то корнем уравнения является любое число (бесконечное множество корней). Если а = 0 и b ≠ 0, т.е. уравнение имеет вид 0 • х + b = 0, то ни одно число этому уравнению не удовлетворяет; говорят, что уравнение не имеет корней.

Рассмотрим наиболее часто встречающийся случай, когда а ≠ 0. Рассуждаем так:

1) ах + b = 0, значит, ах = -b (поскольку (-5) + 5 = 0); фактически слагаемое b перенесли из левой части уравнения в правую с противоположным знаком;

2) ах = -b, т.е. произведение чисел а их равно -b; но тогда множитель х равен частному от деления произведения -b на второй множитель. Значит, х = (-5) : а. Вместо знака деления можно использовать черту дроби:

Фактически мы выработали определённую программу действий, определённый порядок ходов — в математике в таких слукорень чаях используется термин алгоритм — для решения линейного уравнения.

Алгоритм решения линейного уравнения ах + b = 0 в случае, когда а ≠ 0
1. Преобразовать уравнение к виду ах = -b.
2. Записать корень уравнения в виде х = (-b) : а, или, что то же самое,

А как быть, если уравнение записано в более сложном виде, например

2х - 2 = 10 - х?

Рассуждаем так. Два выражения равны тогда и только тогда, когда их разность равна нулю: (2х - 2) - (10 - х) = 0. Воспользуемся известными из курса математики 5—6-го классов правилами раскрытия скобок и приведения подобных членов:

2х - 2 - 10 + х = 0;
3х- 12 = 0;
3х = 12;
х = 4.

Такие уравнения вы уже решали в курсе математики 5—6-го классов. Обобщим проведённые рассуждения, оформив их в виде ещё одного полезного алгоритма.

Алгоритм решения уравнения ах + b = сх + d (а ≠ с)
1. Перенести все члены уравнения из правой части в левую с противоположными знаками.
2. Привести в левой части подобные слагаемые, в результате чего получится уравнение вида kx + m = 0, где k ≠ 0.
3. Преобразовать уравнение к виду kx = -m и записать его корень:

Именно так было решено уравнение, которое получилось в предыдущем параграфе в примере 1.

Пример 1. Решить уравнение

Р е ш е н и е. Первый способ. Воспользуемся алгоритмом:

Окончание >>>