Иррациональные числа (продолжение)

Предположим, что число, квадрат которого равен 2, является рациональным. Тогда это число можно представить в виде несократимои дроби , где m — целое число, n — натуральное. Так как и m² = 2n². Число 2n² чётное, значит, и равное ему число m² чётное. Но тогда и само число т является чётным (если бы число m было нечётным, то и число m² было бы нечётным). Поэтому число m можно представить в виде m = 2k, где k — целое число. Подставим 2k вместо m в равенство m² = 2n². Получим: (2k)² = 2n², 4k² = 2n², 2k² = n².

Число 2k² чётное, значит, число n² тоже чётное. Тогда и число n является чётным, т. е. числитель и знаменатель дроби — числа чётные. Это противоречит тому, что дробь несократима. Значит, неверно предположение, что число, квадрат которого равен 2, является рациональным.

Итак, десятичное измерение длин отрезков каждой точке координатной прямой, лежащей справа от начальной точки О, ставит в соответствие положительную бесконечную десятичную дробь. Наоборот, взяв произвольную положительную бесконечную десятичную дробь, мы можем найти на координатной прямой справа от точки О единственную точку А, такую, что длина отрезка О А выражается этой дробью.

Если к положительным бесконечным десятичным дробям присоединить противоположные им числа и число нуль, то получим множество чисел, которые называют действительными числами.

Каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой, и каждой точке координатной прямой соответствует единственное действительное число. Говорят, что между множеством действительных чисел и множеством точек координатной прямой существует взаимно однозначное соответствие.

Множество действительных чисел принято обозначать буквой R (от первой буквы латинского слова realis — реальный, существующий в действительности).

Если A (x₁) и В (х₂) — две точки координатной прямой, то расстояние между этими точками, т. е. длину отрезка АВ, можно найти по формуле

АВ = |х₂ - х₁|.

Бесконечные десятичные дроби могут быть периодическими и непериодическими. Бесконечные десятичные периодические дроби представляют рациональные числа. Каждое такое число можно записать в виде отношения , где m — целое число, а n — натуральное. Бесконечные десятичные непериодические дроби представляют числа, не являющиеся рациональными. Их называют иррациональными числами (приставка «ир» означает «отрицание»). Иррациональные числа нельзя представить в виде отношения , где m — целое число, а n — натуральное.

Таким образом,

множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел.

Приведём примеры иррациональных чисел:

3,010010001... (единицы разделяются последовательно одним, двумя, тремя и т. д. нулями);

-5,020022000222... (число нулей и число двоек каждый раз увеличивается на единицу).

Иррациональным числом является число π, выражающее отношение длины окружности к диаметру:

π = 3,1415926... .

Действительные числа, записанные с помощью бесконечных десятичных дробей, сравнивают по тем же правилам, что и конечные десятичные дроби.

Сравним, например, числа 2,36366... и 2,37011... . В этих положительных бесконечных десятичных дробях совпадают целые части и цифры десятых, а в разряде сотых у первой дроби число единиц меньше, чем у второй. Поэтому

2,36366... < 2,37011... .

Сравним числа 0,253... и -0,149... . Первое из этих чисел положительное, а второе — отрицательное. Поэтому

0,253... > -0,149... .

<<< К началу Окончание >>>