Иррациональные числа (окончание)

Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить (при условии, что делитель отличен от нуля), причём действия над действительными числами обладают теми же свойствами, что и действия над рациональными числами. При выполнении действий над действительными числами в практических задачах их заменяют приближёнными значениями. Повышая точность, с которой берутся приближённые значения, получают более точное значение результата.

Пример 4. Найдём приближённое значение суммы чисел а и b, где b = 1,7132... .

Возьмём приближённые значения слагаемых с точностью до 0,1: а ≈ 0,3, b ≈ 1,7. Получим:

а + b ≈ 0,3 + 1,7 = 2,0.

Если взять приближённые значения слагаемых с точностью до 0,01, т. е. а ≈ 0,33 и b ≈ 1,71, то получим:

а + b ≈ 0,33 + 1,71 = 2,04.

Пример 5. Найдём длину окружности, радиус r которой равен 5 м.

Длина окружности l вычисляется по формуле l = 2πr. Взяв π ≈ 3,14, получим

l ≈ 2 • 3,14 • 5= 31,4 (м).

Упражнения

276. Приведите пример:

а) рационального числа;
б) иррационального числа.

277. Верно ли, что:

а) каждое рациональное число является действительным;
б) каждое действительное число является рациональным;
в) каждое иррациональное число является действительным;
г) каждое действительное число является иррациональным?

278. Среди чисел 0; 0,25; -2,(3); 0,818118111... (число единиц, разделяющих восьмёрки, каждый раз увеличивается на одну); 4,2(51); 217; π укажите рациональные и иррациональные.

279. Верно ли, что:

а) 7,16 ∈ N; 7,16 ∈ Z; 7,16 ∈ Q; 7,16 ∈ R;
б) 409 ∈ N; 409 ∈ Z; 409 ∈ Q; 409 ∈ R;
в) π ∈ N; π ∈ Z; π ∈ Q; π ∈ R?

280. Сравните:

а) 7,653... и 7,563...;
б) 0,123... и 0,114...;

в) -48,075... и -48,275...;
г) -1,444... и -1,456... .

КАРЛ ВЕЙЕРШТРАСС

КАРЛ ВЕЙЕРШТРАСС (1815—1897) — немецкий математик, почётный член Петербургской академии наук. Имеет многочисленные труды по математическому анализу и другим разделам математики. С его именем связано построение теории действительных чисел на основе десятичных дробей.

281. Какое из чисел больше:

282. Сравните числа:

283. Найдите расстояние между точками М и К координатной прямой, если:

<<< К началу Ответы >>>