Пересечение и объединение множеств

Пусть А — множество натуральных делителей числа 12, а B — множество натуральных делителей числа 18. Зададим множества А и В путём перечисления элементов:

А = { 1, 2, 3, 4, 6, 12},
В = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.

Обозначим буквой С множество общих делителей чисел 12 и 18, т. е. общих элементов множеств А и В. Получим, что

С = {1, 2, 3, 6}.

Говорят, что множество С является пересечением множеств А и B, и пишут: А ∩ B = С.

Вообще

пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.

Соотношение между множествами А, В и С можно проиллюстрировать с помощью специальных схем, называемых кругами Эйлера. На рисунке 25 множества А и В избражены кругами. Фигура, образовавшаяся при пересечении кругов, закрашенная на рисунке, изображает множество С.

Заметим, что если некоторые множества X и Y не имеют общих элементов, то говорят, что пересечением этих множеств является пустое множество, которое обозначают знаком ∅, и используют такую запись: X ∩ Y = ∅.

Введём теперь понятие объединения множеств. Вернёмся к рассмотренному примеру множеств натуральных делителей чисел 12 и 18. Пусть D — множество, которому принадлежат все элементы множества А и все элементы множества В. Для того чтобы задать множество D путём перечисления элементов, выпишем сначала все элементы множества А, а затем те элементы множества В, которые не принадлежат множеству А. Получим

D = {1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18}.

Говорят, что множество D является объединением множеств А и В, и пишут: D = A ∪ В.

Вообще

объединением двух множеств называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.

На рисунке 26 с помощью кругов Эйлера показано соотношение между множествами А, В и D. Фигура, закрашенная на рисунке, изображает множество D.

Упражнения

799. Известно, что X — множество простых чисел, не превосходящих 20, a Y — множество двузначных чисел, не превосходящих 20. Задайте множества X и Y перечислением элементов и найдите их пересечение и объединение.

800. Задайте путём перечисления элементов множество А двузначных чисел, являющихся квадратами натуральных чисел, и множество В двузначных чисел, кратных 16. Найдите пересечение и объединение этих множеств.

801. Найдите пересечение и объединение:

а) множеств цифр, используемых в записи чисел 11 243 и 6321;
б) множеств букв, используемых в записи слов «геометрия» и «география»;
в) множества простых чисел, не превосходящих 40, и множества двузначных чисел;
г) множества двузначных чисел и множества натуральных чисел, кратных 19.

Окончание >>>