Числовые промежутки

Пусть а и b — некоторые числа, причём а < b. Отметим на координатной прямой точки с координатами а и b (рис. 28). Если точка расположена между ними, то ей соответствует число х, которое больше а и меньше b. Верно и обратное: если число х больше а и меньше b, то оно изображается точкой, лежащей между точками с координатами а и b. Множество всех чисел, удовлетворяющих условию a ≤ x ≤ b, изображается на координатной прямой отрезком, ограниченным точками с координатами а и b (рис. 29). Это множество называют числовым отрезком или просто отрезком и обозначают так: [а; b] (читают: отрезок от а до b).

Множество чисел, удовлетворяющих условию а < х < b, называют интервалом и обозначают так: (а; b) (читают: интервал от а до b). На рисунке 30 это множество показано штриховкой. Светлые кружки означают, что числа а и b не принадлежат этому множеству.

Множества чисел х, для которых выполняются двойные неравенства а ≤ х < b или а < х ≤ b, называют полуинтервалами и обозначают соответственно [а; b) и (а; b] (читают: полуинтервал от а до b, включая а; полуинтервал от а до b, включая b). Эти полуинтервалы изображены на рисунках 31 и 32.

Числовые отрезки, интервалы и полуинтервалы называют числовыми промежутками.

Приведём другие примеры числовых промежутков.

Множество чисел, удовлетворяющих неравенству х ≥ а, изображается лучом с началом в точке а, расположенным вправо от неё (рис. 33). Это множество называют числовым лучом и обозначают так: [а; +∞) (читают: числовой луч от а до плюс бесконечности).

Множество чисел, удовлетворяющих условию х > а, изображается тем же лучом, исключая точку а (рис. 34). Его называют открытым числовым лучом и обозначают так: (а; +∞) (читают: открытый числовой луч от а до плюс бесконечности).

На рисунках 35 и 36 изображены множества чисел х, для которых выполняются неравенства х ≤ а и х < а. Эти множества обозначают соответственно (-∞; а] и (-∞; а) (читают: числовой луч от минус бесконечности до а; открытый числовой луч от минус бесконечности до а).

Множество действительных чисел изображается всей координатной прямой. Его называют числовой прямой и обозначают так: (-∞; +∞).

Обозначения числовых промежутков, их названия и изображение на координатной прямой показаны в таблице.

Выясним, какое множество является пересечением и какое объединением некоторых числовых промежутков.

Продолжение >>>