Дисперсия и среднее квадратичное отклонение (окончание)

Необходимо отметить, что дисперсия как характеристика ряда данных имеет существенный недостаток. Он заключается в следующем. Если величины измеряются в каких-либо линейных единицах, например, в метрах, часах, килограммах и т. п., то дисперсия измеряется в квадратах этих единиц, т. е. в мерах, некоторые из которых не имеют реального смысла. Поэтому, при оценке разброса данных дисперсию часто заменяют другим показателем, называемым средним квадратичным отклонением.

Средним квадратичным отклонением числового ряда называют квадратный корень из дисперсии этого ряда.

Для результатов стрельбы, показанных Петровым и Смирновым, дисперсия, согласно расчётам, равна соответственно 1,5 и 0,75. Среднее квадратичное отклонение в первом случае равно √1,5, а во втором оно равно √0,75.

Среднее квадратичное отклонение принято обозначать греческой буквой σ (сигма). В рассмотренном примере σ₁ = √1,5 ≈ 1,2, σ₂ = √0,75 ≈ 0,9.

Упражнения

1072. Для ряда чисел 5, 6, 8, 10, 7, 2 найдите:

а) среднее арифметическое;
б) отклонение каждого члена ряда от среднего арифметического;
в) сумму квадратов отклонений;
г) дисперсию ряда.

1073. Вычислите дисперсию ряда чисел:

а) 6, 8, 10, 12, 9;
б) -4, -1, -2, 7, 5, 4.

1074. Составьте какой-либо ряд, состоящий из пяти чисел. Найдите для него:

а) среднее арифметическое;
б) дисперсию;
в) среднее квадратичное отклонение.

1075. В таблице приведены средние месячные температуры (в градусах Цельсия), установленные для Москвы и Хабаровска для первого полугодия на основе наблюдений, проводившихся в течение 80 лет.

Пользуясь калькулятором, найдите для каждого ряда данных:

а) среднее арифметическое месячных температур;
б) отклонения температур от среднего арифметического;
в) дисперсию.

Объясните, какие особенности климата отражены в значениях дисперсии.

1076. Найдите дисперсию и среднее квадратичное отклонение для ряда чисел:

а) -5, -8, 6, 7, 4, 3; б) 1, 0, 3, 0, 6, 4.

1077. Для произвольного ряда, составленного из пяти двузначных чисел, найдите среднее квадратичное отклонение.

1078. Как изменится дисперсия ряда чисел

х¹, х², х³, х⁴, х⁵, х⁶,

если каждое число увеличить на положительное число а?

Проверьте результат на примере ряда 1, 3, 6, 8, -1, -2 и а = 4.

Выскажите предположение и проведите доказательство.

<<< К началу