|
|
|
§ 3. Произведение и частное дробей Представление дроби в виде суммы дробейСумму двух рациональных дробей, как известно, всегда можно представить в виде несократимой дроби, у которой числитель и знаменатель — многочлены с переменными или числа (в частности, число 1). Обратная задача — представление дроби в виде суммы двух дробей — неопределённая. Так, например, дробь
Вообще задача представления дроби в виде суммы дробей допускает сколь угодно много решений. Действительно, если требуется представить дробь Для представления дроби в виде суммы дробей можно воспользоваться методом неопределённых коэффициентов. Разъясним на примере, в чём состоит этот метод. Пример 1. Представим дробь
Сложим дроби в правой части равенства:
Получаем, что Это равенство будет тождеством, если а + b = 7 и 4а - 3b = 0. Решив систему уравнений
найдём, что а = 3, b = 4. Следовательно,
Приведём теперь примеры задач, при решении которых используется представление дроби в виде суммы целого выражения и дроби. Пример 2. Найдём все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению х - ху + 3у = 5.
Выделив из дроби
Значение дроби Пример 3. Найдём, при каких значениях n значение дроби
В результате получаем, что частное равно n + 3, а остаток равен 5. Значит, n2 - 2n - 10 = (n - 5) (n + 3) + 5. Отсюда
Значение двучлена n + 3 при любом целом л является целым числом. Значение дроби Значит, дробь
|
|
|