К параграфу 1

200. Найдите область определения функции:

201. Длина прямоугольника ABCD (рис. 47) равна 10 см, а ширина — 7 см. Отрезок MN передвигается от отрезка AD до отрезка ВС, оставаясь параллельным отрезку AD. Площадь у (см²) закрашенной части есть функция расстояния х (см) от точки D до точки N. Задайте функцию у = ƒ(x) формулой. Найдите область значений этой функции.

202. В равнобедренном треугольнике АВС основание АС равно 6 см, а боковая сторона — 5 см. Концы подвижного отрезка, параллельного основанию, лежат на боковых сторонах. Его длина равна у (см), а расстояние от вершины — х (см). Задайте формулой у как функцию от х. Найдите область значений этой функции.

203. Функция задана формулой Пересекает ли ее график ось x? ось у? В каких координатных четвертях расположен график этой функции?

204. Катер отправляется от пристани А и идет вниз по реке к пристани В, до которой 60 км. После двухчасовой стоянки на пристани В он возвращается обратно. Расстояние l (км), пройденное катером от пристани А, зависит от времени t (ч), отсчитываемого с момента отправления катера из А до момента возвращения. Собственная скорость катера 16 км/ч, скорость течения реки 4 км/ч. Задайте l как функцию от t формулами, постройте график функции, опишите по графику ее свойства и объясните их физический смысл.

205. Начертите график какой-нибудь функции, областью определения которой является промежуток [-3; 4], а областью значений — промежуток [0; б].

206. Найдите нули функции (если они существуют):

207. Известно, что у = ƒ(x) и у = g(x) — возрастающие (убывающие) функции. Докажите, что функция φ(x) = ƒ(x) + g(x) является возрастающей (убывающей) функцией.

208. Известно, что у = ƒ(x) — возрастающая функция и a — некоторое число. Докажите, что уравнение ƒ(x) = а имеет не более одного корня.

209. Решите уравнение:

а) √х + х² = 18; б) х³ + 5х = 6.

210. Какие из функций, заданных формулами у = х², у = х² + 5, У = 2х + 5, у = х³, у = -х², у = -х² - 4, у = √x, у = √x + 1, у = х⁴ + х² + 6, сохраняют знак на всей области определения?

211. На рисунке 48 изображен график Рис. 48 одной из функций

212. Какой из трех графиков, изображенных на рисунке 49, является графиком функции у = |х - 2|?

213. Постройте график функции и опишите ее свойства.

Ответы

200. а) (-∞; -6) ∪ (-6; 0) ∪ (0; +∞); б) [4; +∞); в) (-∞; -1) и (-1; 0) U (0; +∞).

201. у = 10х, где 0 ≤ х ≤ 7; [0; 70].

202. у = 1,5х, где 0 ≤ х ≤ 4; [0; 6].

203. График не пересекает ось х, а ось у пересекает в точке (0; 1). Он расположен в I и II координатных четвертях.

204.

209. а) 4; б) 1.

210. у = х² + 5, у = -x² - 4, y = √x + 1, y = x⁴ + x² + 6