Дробные рациональные уравнения

В каждом из уравнений

левая и правая части представляют собой рациональные выражения, причем либо оба выражения являются дробными, либо одно из них является дробным, а другое — целым выражением. Такие уравнения, как вы знаете, называются дробными рациональными уравнениями. Напомним, что

дробным рациональным уравнением называется уравнение, обе части которого являются рациональными выражениями, причем хотя бы одно из них — дробным выражением.

При решении дробных рациональных уравнений, как вам известно, обычно поступают следующим образом:

находят общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

умножают обе части уравнения на этот знаменатель;

решают получившееся целое уравнение;

исключают из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель дробей.

С простейшими примерами решения дробных рациональных уравнений вы уже встречались. Рассмотрим более сложные примеры.

Пример 1. Решим уравнение

Общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, равен x⁴ - x² - 72. Умножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей, получим

6x² - 54 + 9х = х³.

Отсюда

х³ - 6х² - 9х + 54 = 0. (2)

Решим полученное целое уравнение, используя разложение левой части на множители.

Имеем

(х³ - 6x²) - (9х - 54) = 0,
х²(х - 6) - 9(х - 6) = 0,
(х - 6)(х² - 9) = 0,
(х - 6)(х - 3)(х + 3) = 0.

Значит, уравнение (2) имеет три корня:

x₁ = 6, х₂ = 3, х3 = -3.

Теперь необходимо проверить, не обращают ли найденные корни в нуль общий знаменатель дробей, входящих в уравнение (1).

Если х = 6, то х⁴ - х² - 72 ≠ 0;
если х = 3, то х⁴ - х² - 72 = 0;
если х = -3, то х⁴ - х² - 72 = 0.

Значит, уравнение (1) имеет единственный корень — число 6.

Ответ: 6.

Пример 2. Решим уравнение

Приведение дробей, входящих в уравнение, к общему знаменателю связано с громоздкими преобразованиями и не позволяет легко найти корни уравнения. Поступим иначе. Воспользуемся тем, что знаменатели дробей представляют собой двучлены вида х + b, где b — некоторое число. Преобразуем уравнение так, чтобы в левой и правой его частях были записаны разности дробей, и каждую из разностей заменим дробью.

Получим

Отсюда

Решив это уравнение, найдем, что оно имеет два корня:

х₁ = 5,2 и х₂ = 10.

Каждое из этих чисел не обращает в нуль знаменатели дробей, входящих в исходное уравнение. Следовательно, исходное уравнение имеет два корня: 5,2 и 10.

Ответ: 5,2 и 10.

Продолжение >>>