Решение задач с помощью систем уравнений второй степени

Задача. Периметр прямоугольника равен 80 см. Если основание прямоугольника увеличить на 8 см, а высоту — на 2 см, то площадь прямоугольника увеличится в полтора раза. Каковы стороны прямоугольника?

Пусть основание прямоугольника равно х см, а высота равна у см. Так как периметр прямоугольника равен 80 см, то

2х + 2у = 80.

Площадь прямоугольника равна ху см². После увеличения сторон основание прямоугольника будет равно (х + 8) см, высота будет равна (у + 2) см, а площадь будет равна (х + 8)(у + 2) см2. По условию задачи площадь прямоугольника увеличится в полтора раза, т. е.

(х + 8) (у + 2) = 1,5xy.

Итак, имеем систему уравнений

Решив ее, найдем, что

х₁ = 28, у₁ = 12 или х₂ = 24, у₂ = 16.

Задача имеет два решения. Стороны прямоугольника равны 28 см и 12 см или 24 см и 16 см.

Упражнения

455. Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 35. Найдите эти числа.

456. Одно число на 7 больше другого, а их произведение равно -12. Найдите эти числа.

457. Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.

458. Одна из сторон прямоугольника на 14 см больше другой. Найдите стороны прямоугольника, если его диагональ равна 26 см.

459. Прямоугольный участок земли ” площадью 2400 м² обнесен изгородью, длина которой равна 200 м. Найдите длину и ширину этого участка.

460. Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см, а его гипотенуза равна 37 см. Найдите площадь этого треугольника.

461. Из некоторого пункта вышли одновременно два отряда. Один направился на север, а другой — на восток. Спустя 4 ч расстояние между отрядами было равно 24 км, причем первый отряд прошел на 4,8 км больше, чем второй. С какой скоростью шел каждый отряд?

462. От вершины прямого угла по его сторонам начинают одновременно двигаться два тела. Через 15 с расстояние между ними стало равно 3 м. С какой скоростью двигалось каждое тело, если известно, что первое прошло за 6 с такое же расстояние, какое второе прошло за 8 с?

463. На каждой из сторон прямоугольника построен квадрат. Сумма площадей квадратов равна 122 см². Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его площадь равна 30 см².

464. Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см², а его гипотенуза равна 10 см. Каковы катеты треугольника?

465. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Если один из его катетов увеличить на 4 см, то гипотенуза увеличится на 2 см. Найдите катеты треугольника.

466. Два экскаватора, работая одновременно, выполняют некоторый объем земляных работ за 3 ч 45 мин. Один экскаватор, работая отдельно, может выполнить этот объем работ на 4 ч быстрее, чем другой. Сколько времени требуется каждому экскаватору в отдельности для выполнения того же объема земляных работ?

467. Один комбайнер может убрать урожай пшеницы с участка на 24 ч быстрее, чем другой. При совместной же работе они закончат уборку урожая за 35 ч. Сколько времени потребуется каждому комбайнеру, чтобы одному убрать урожай?

Продолжение >>>