Последовательности

Будем выписывать в порядке возрастания положительные четные числа. Первое такое число равно 2, второе 4, третье 6, четвертое 8 и т. д. Получим последовательность

2; 4; 6; 8; ... .

Ясно, что на пятом месте в этой последовательности будет число 10, на десятом — число 20, на сотом — число 200. Вообще для любого натурального числа n можно указать соответствующее ему положительное четное число; оно равно 2n.

Рассмотрим еще одну последовательность. Будем выписывать в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным 1:

Для любого натурального числа n мы можем указать соответствующую дробь, стоящую в этой последовательности на n-м месте; она равна Так, на шестом месте должна стоять дробь на тридцатом — дробь на тысячном — дробь

Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена, например а₁, а₂, а₃, а₄ и т. д. (читают: «а первое, а второе, а третье, а четвертое» и т. д.). Вообще член последовательности с номером n, или, как говорят, n-й член последовательности, обозначают а_n. Саму последовательность будем обозначать так: (а_n).

В рассмотренных примерах мы имели дело с последовательностями, содержащими бесконечно много членов. Такие последовательности называются бесконечными.

Заметим, что последовательность может содержать конечное число членов. В таком случае ее называют конечной. Например, конечной является последовательность двузначных чисел

10; 11; 12; 13; ... ; 98; 99.

Чтобы задать последовательность, нужно указать способ, позволяющий найти член последовательности с любым номером.

Часто последовательность задают с помощью формулы n-го члена последовательности. Например, последовательность положительных четных чисел можно задать формулой а_n = 2n, последовательность правильных дробей с числителем, равным 1, — формулой Приведем другие примеры.

Пример 1. Пусть последовательность задана формулой у_n = n² - 3га. Подставляя вместо га натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5 и т. д., получаем

y₁ = -2, у₂ = -2, у₃ = 0, у₄ = 4, у₅ = 10, ... .

Рассматриваемая последовательность начинается так:

-2; -2; 0; 4; 10; ... .

Пример 2. Пусть последовательность задана формулой х_n = (-1)ⁿ • 10. Все члены этой последовательности с нечетными номерами равны -10, а с четными номерами равны 10:

х₁ = -10, х₂ = 10, х₃ = -10, х₄ = 10, ... .

Получаем последовательность

-10; 10; -10; 10; -10; ... .

Пример 3. Формулой с_n — 5 задается последовательность, все члены которой равны 5:

5; 5; 5; 5; 5; ... .

Рассмотрим еще один способ задания последовательности. Он состоит в том, что указывают ее первый член или первые несколько членов и формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие (один или несколько). Такую формулу называют рекуррентной (от латинского слова recurro — возвращаться), а соответствующий способ задания последовательности — рекуррентным способом.

Приведем пример задания последовательности рекуррентным способом.

Пример 4. Пусть (u_n) — последовательность, в которой n₁ = 1, u₂ = 1, u_{n + 1} = u_n + u_{n - 1} при n > 2.

Выпишем первые несколько ее членов:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... .

Эта последовательность описана в работах итальянского математика Леонардо из Пизы, известного под именем Леонардо Фибоначчи (1180—1240). Члены этой последовательности называют числами Фибоначчи.

Окончание >>>