Определение арифметической прогрессии. Формула n-го члена арифметической прогрессии

Рассмотрим последовательность натуральных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1:

1; 5; 9; 13; 17; 21; ... .

Каждый ее член, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену числа 4. Эта последовательность является примером арифметической прогрессии.

Определение. Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Иначе говоря, последовательность (а_n) — арифметическая прогрессия, если для любого натурального п выполняется условие

а_{n + 1} = a_n + d,

где d — некоторое число.

Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна d, т. е. при любом натуральном n верно равенство

а_{n + 1} - a_n = d,

Число d называют разностью арифметической прогрессии. Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и разность.

Приведем примеры.

Если а₁ = 1 и d = 1, то получим арифметическую прогрессию

1; 2; 3; 4; 5; ... ,

члены которой — последовательные натуральные числа.

Если а₁ = 1 и d = 2, то получим арифметическую прогрессию

1; 3; 5; 7; 9; ... ,

которая является последовательностью положительных нечетных чисел.

Если а₁ = -2 и d = -2, то получим арифметическую прогрессию

-2; -4; -6; -8; -10; ... ,

которая является последовательностью отрицательных четных чисел.

Если а₁ = 7 и d = 0, то имеем арифметическую прогрессию

7; 7; 7; 7; 7; ... .

все члены которой равны между собой.

Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и т. д. члены. Однако для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ неудобен. Постараемся отыскать способ, требующий меньшей вычислительной работы.

По определению арифметической прогрессии

а₂ = а₁ + d,
а₃ = а₂ + d = (а₁ + d) + d = а₁ + 2d,
а₄ = а₃ + d = (а₁ + 2d) + d = а₁ + 3d,
а₅ = а₄ + d = (а₁ + 3d) + d = а₁ + 4d.

Точно так же находим, что а₆ = а₁ + 5d, и вообще, чтобы найти а_n, нужно к а₁ прибавить (n - 1 )d, т. е.

а_n = а₁ + d(n — 1).

Мы получили формулу n-го члена арифметической прогрессии.

Приведем примеры решения задач с использованием этой формулы.

Продолжение >>>