Задачи повышенной трудности

1036. Найдите корни многочлена

2х⁵ + х⁴ - 10х³ - 5х² + 8х + 4.

1037. Если в многочлен ах³ + bх² + сх + d вместо а, b, с и d подставлять числа -7, 4, -3 и 6 в каком угодно порядке, будут получаться многочлены с одной переменной, например -7х³ + 4х² - 3х + 6, 4х³ - 7х² + 6х - 3 и т. д. Докажите, что все такие многочлены имеют общий корень.

1038. Докажите, что многочлен х⁴ — 4х³ - 6х² - 3х + 9 не имеет отрицательных корней.

1039. При каком значении а сумма квадратов корней квадратного трехчлена х² - (а - 2)х - а - 1 принимает наименьшее значение?

1040. Докажите, что при любых значениях а, b и с график функции у = (х - а)(х - b) - с² имеет хотя бы одну общую точку с осью х.

1041. Постройте график функции:

1042. Найдите координаты общих точек оси х и графика функции

у = х² - 4х + |2х - 8|.

1043. При каком значении а графики функций у = х² - 7х + а и у = -3х² + 5х - 6 имеют единственную общую точку? Найдите ее координаты.

1044. Докажите, что многочлен х⁸ + х⁶ - 4х⁴ + х² + 1 не принимает отрицательных значений.

1045. При каких значениях т квадратный трехчлен

mх² + (m - 1)х + m - 1

принимает лишь отрицательные значения?

1046. Найдите область значений функции

1047. Сумма квадратов корней х₁ и х₂ уравнения х² - 3ах + а² = 0 равна 1,75. Найдите х₁ и х₂.

1048. Найдите значения а, при которых один из корней уравнения х₂ - 3,75x + а₃ = 0 является квадратом другого.

1049. При каком значении m корни уравнения х² - 2mх + m² - 1 = 0 принадлежат интервалу (—2; 4)?

1050. При каких значениях а биквадратное уравнение х⁴ + ах² + а - 1 = 0 имеет лишь два различных корня?

1051. Решите систему уравнений

1052. Решите систему уравнений:

1053. Решите систему уравнений

1054. Найдите все решения системы

1055. Решите уравнение

(x + 3)⁴ + (х + 5)⁴ = 4.

1056. Решите уравнение

(x² + х)⁴ - 1 = 0.

1057. Решите систему уравнений

1058. Решите систему уравнений

1059. Знаменатель обыкновенной дроби меньше квадрата ее числителя на 1. Если числитель и знаменатель этой дроби увеличить на 2, то значение дроби станет больше а если числитель и знаменатель уменьшить на 3, то значение дроби станет меньше Найдите такие дроби.

Продолжение >>>