Задачи повышенной трудности (продолжение)

1060. Решите систему уравнений

1061. Найдите значение m, при котором корни уравнения х³ - 9х² + mх - 15 = 0 образуют арифметическую прогрессию.

1062. Докажите, что при любом а выполняется неравенство

1063. За сколько часов может выполнить работу каждый из трех рабочих, если производительность труда третьего рабочего равна полусумме производительностей труда первого и второго? Известно, что если бы третий рабочий проработал один 48 ч, то для окончания работы первому потребовалось бы 10 ч, а второму — 15 ч.

1064. Существует ли такое двузначное число, которое при делении на сумму квадратов его цифр дает в частном 2 и в остатке 6, а при делении на произведение цифр дает в частном 4 и в остатке 6?

1065. Последовательности (у_n) и (x_n) заданы формулами у_n = n² и х_n = 2n - 1. Если выписать в порядке возрастания все их общие члены, то получится последовательность (с_n). Напишите формулу n-го члена последовательности (с_n).

1066. При каких значениях n члены последовательности, заданной формулой х_n = (n + 4)(n - 5), удовлетворяют условию -18 ≤ х_n ≤ 360?

1067. Найдите сумму первых n членов последовательности (х_n), если

1068. В последовательности (x_n) каждый член с нечетным номером равен 2а, а с четным равен 2b. Напишите формулу n-го члена этой последовательности.

1069. Известно, что у = ƒ(x) — линейная функция и х₁, х₂, x₃, ... — арифметическая прогрессия. Докажите, что последовательность ƒ(x₁), ƒ(x₂), ... является арифметической прогрессией.

1070. В арифметической прогрессии а₁, а₂, а₃, а₄, состоящей из целых чисел, наибольший член равен сумме квадратов остальных членов. Найдите члены этой прогрессии.

1071. Пусть а₁, а₂, ... — арифметическая прогрессия с положительными членами. Докажите, что сумма первых n членов последовательности (х_n), где равна

1072. Докажите, что если стороны треугольника образуют геометрическую прогрессию, то его высоты также образуют геометрическую прогрессию.

1073. Три различных целых числа составляют геометрическую прогрессию. Их сумма равна -3. Найдите эти числа.

1074. Три целых числа составляют арифметическую прогрессию, первый член которой 1. Если ко второму члену прибавить 3, а третий возвести в квадрат, то получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.

1075. Докажите, что при любом натуральном значении n > 1 верно неравенство

1076. Упростите выражение:

1077. Докажите, что если х² + у² + z² = ху + уz + zх, то х = у = г.

1078. Решите уравнение с двумя переменными

х² + 2√3х + у - 4√у + 7 = 0.

1079. Решите систему уравнений

<<< К началу Окончание >>>