О функциях

Еще задолго до того, как сформировались общие понятия переменной величины и функции, они фактически использовались в математике. Значительную роль в развитии этих понятий сыграл метод координат, созданный французскими математиками Р. Декартом (1596—1650) и П. Ферма (1601 —1665). Метод координат стал широко использоваться для графического исследования функций и графического решения уравнений. С этого времени начался новый этап, который ознаменовался мощным развитием не только математики, но и всего естествознания.

Термин «функция» ввел немецкий математик Г. Лейбниц (1646—1716). У него функция связывалась с графиком.

С именами Л. Эйлера (1707—1783) и И. Бернулли (1667—1748) связано понимание функции как аналитического выражения, т. е. выражения, образованного из переменных и чисел с помощью тех или иных аналитических операций. В это время были исследованы важные классы функций, которые рассматриваются в одной из ведущих областей математики — математическом анализе.

У Л. Эйлера появился и более общий подход к понятию функции как зависимости одной переменной величины от другой. Эта точка зрения получила дальнейшее развитие в трудах русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856), немецкого математика П. Дирихле (1805—1859) и других ученых. В результате функцию стали рассматривать как соответствие между числовыми множествами: переменная у есть функция переменной х (на отрезке а ≤ х ≤ b), если каждому значению х соответствует определенное значение у, причем безразлично, каким образом установлено это соответствие — формулой, графиком, таблицей либо просто словами.

Одна из оригинальных функций, названная функцией Дирихле, выглядит так:

Отметим, что график этой функции «разрывен» в каждой точке. Он состоит из прямой у = 1, у которой исключены все точки с иррациональными абсциссами, и прямой у = 0, у которой исключены все точки с рациональными абсциссами.

Дальнейшее развитие понятия функции связано с рассмотрением соответствий между множествами, элементами которых могут быть не только числа, но и объекты произвольной природы.