Об уравнениях высших степеней

Неполные квадратные уравнения и частные случаи полных квадратных уравнений умели решать еще вавилоняне (2 тыс. лет до н. э.). Отдельные виды квадратных уравнений решали древнегреческие математики, сводя их решение к геометрическим построениям.

Примеры решения уравнений 3-й степени не были известны ни древнегреческой, ни арабской науке. В алгебраических трактатах арабских математиков IX—XV вв., кроме решения уравнений и систем уравнений 1-й и 2-й степеней, рассматриваются решения кубических уравнений частных видов. Однако способы решения этих уравнений приводили к нахождению приближенных значений корней.

Общее уравнение 3-й степени имеет вид ах³ + bx² + сх + d = 0, где а ≠ 0. Давно было известно, что с помощью введения новой переменной это уравнение можно свести к уравнению вида х³ + рх + q = 0.

Впервые формулу для отыскания положительного корня уравнения х³ + рх = q, где р > 0 и q > 0, вывел итальянский математик Сципион Даль Ферро (1465—1526), но держал ее в тайне. Только в конце жизни он сообщил своему ученику Фиори об открытии. Одновременно вопросом об общем решении уравнений 3-й степени занимался другой итальянский математик — Н. Тар- талья (ок. 1499—1557), который нашел способы решения уравнений х³ + рх = q, х³ + q = рх, х³ = рх + q и частных случаев уравнения х³ + рх² = q (р и q — положительные числа). В 1535 г. между Фиори и Тартальей состоялся научный поединок, на котором Тарталья одержал блестящую победу (он за 2 ч решил все 30 предложенных ему задач, в то время как Фиори не решил ни одной задачи Тартальи).

С 1539 г. решением кубических уравнений начинает заниматься итальянский математик Д. Кардано (1501—1576). Он узнал об открытии Тартальи, который не публиковал своих трудов. В 1545 г. вышла книга Кардано «Великое искусство, или О правилах алгебры», где наряду с другими вопросами алгебры рассматриваются общие способы решения кубических уравнений. В эту книгу Кардано включил также метод решения уравнений 4-й степени, открытый его учеником Л. Феррари (1522—1565).

Вопрос о том, кому принадлежит приоритет открытия формулы корней кубических уравнений — Тарталье или Кардано, не решен до сих пор.

Следует отметить, что ни Тарталья, ни Кардано не провели полного исследования решений кубических уравнений. В решении этой задачи значительно продвинулся их соотечественник из Болоньи Р. Бомбелли (ок. 1530—1572). Полное изложение вопросов, связанных с решением уравнений 3-й и 4-й степеней, дал Ф. Виет (1540—1603), которому в этом существенно помогла усовершенствованная им алгебраическая символика.

В формуле корней квадратного уравнения используется знак корня — радикал. Через радикалы (корни 2, 3 и 4-й степеней) выражаются и корни уравнений 3-й и 4-й степеней.

После того как были найдены формулы решений уравнений 3-й и 4-й степеней, усилия многих математиков были направлены на то, чтобы отыскать формулы решений уравнений любых степеней. На решение этой проблемы ушло около 300 лет, и лишь в 20-х гт. XIX в. норвежский математик Н. Абель (1802—1829) доказал, что в общем случае корни уравнений 5-й и более высоких степеней не могут быть выражены через радикалы. Французский математик Э. Галуа (1811—1832) выделил класс алгебраических уравнений, которые разрешимы в радикалах.

Использование алгебраических уравнений позволило дать более тонкую классификацию действительных чисел. Числа, являющиеся корнями алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, стали называть алгебраическими числами. Действительные числа, не являющиеся алгебраическими, назвали трансцендентными. Оказалось, что в множестве иррациональных чисел содержится значительно больше трансцендентных чисел, чем алгебраических. Одним из представителей трансцендентных чисел является число π.