Выражения и их преобразования

1. Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания и умножения, называют целыми выражениями. При этом произведение одинаковых множителей может быть записано в виде степени. К целым выражениям относят и выражения, в которых, кроме действий сложения, вычитания и умножения, используется деление на число, отличное от нуля. Например, выражения а² + 3аb - 2b², (х - у)(2х + у²), а² : 7 целые.

Выражения, составленные из чисел и переменных, в которых, кроме действий сложения, вычитания и умножения, используется деление на выражение с переменными, называют дробными выражениями. Например, выражения 5m : n дробные.

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями.

Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных. Дробное выражение при некоторых значениях переменных может не иметь смысла. Например, выражение не имеет смысла при а = 2, выражение не имеет смысла при х = у.

Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных.

2. Тождеством называется равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Два выражения, принимающие равные значения при всех допустимых для них значениях переменных, называют тождественно равными, а замену одного выражения другим, тождественно равным ему, — тождественным преобразованием выражения.

3. Одночленами называют произведения чисел, переменных и их степеней, а также сами числа, переменные и их степени. Например, 8а³b, -1,5xy²z⁸, 12, с, m¹⁰ — одночлены.

Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех входящих в него переменных. Например, степень одночлена 9а⁷b равна 8.

4. Многочленом называется сумма одночленов. Например, у⁴ - 8у³ + 2у - 3, 4а⁴b + 11а²b² - ab + 3b - 1 — многочлены. Одночлены считают многочленами, состоящими из одного члена.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Например, степень многочлена 18а⁶ - 7а⁴b³ + 1 равна степени одночлена -7а⁴b³, т. е. равна 7.

Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

5. При сложении многочленов пользуются правилом раскрытия скобок: если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки. Например, (5х² - 3ху) + (4ху - 2х² + 1) = 5x² - 3ху + 4ху - 2х² + 1 = 3х² + ху + 1.

При вычитании многочленов пользуются правилом раскрытия скобок: если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки. Например, (8а² - 3аb) - (7а² - 4аb + 5) = 8а² - 3ab - 7а² + 4ab - 5 = а² + ab - 5.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Например, 2x²(3х³ - ху + 5у²) = 6x⁵ - 2х³у + 10х²у².

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. Например, (2а - 3)(3а² + а - 4) = 6а³ + 2а² - 8а - 9а² - 3а + 12 = 6а³ - 7а² - 11а + 12.

Любое целое выражение можно представить в виде многочлена.

Продолжение >>>