Главная >> Алгебра 9 класс. Макарычев

§ 4. Степенная функция. Корень n-й степени

Функция у = хⁿ

Рассмотрим функцию, заданную формулой у = хⁿ, где х — независимая переменная, а n — натуральное число. Такую функцию называют степенной функцией с натуральным показателем.

Степенные функции при n = 1, 2 и 3, т. е. функции у = х, у = х² и у = х³, мы уже рассматривали. Их свойства и графики нам известны.

Выясним теперь свойства степенной функции и особенности ее графика при любом натуральном n.

Выражение хⁿ, где n — натуральное число, имеет смысл при любом х. Поэтому областью определения степенной функции с натуральным показателем является множество всех действительных чисел.

Сначала рассмотрим случай, когда показатель n — четное число. Свойства функции у = хⁿ при четном n аналогичны свойствам функции у = х².

1. Если х = 0, то у = 0. График функции проходит через начало координат. 2. Если х ≠ 0, то у > 0. Это следует из того, что четная степень как положительного, так и отрицательного числа положительна. График функции расположен в первой и второй координатных четвертях. 3. Противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. Это следует из того, что при четном n равенство (-х)n = хn верно при любых значениях х. 4. Функция возрастает в промежутке [0; +∞) и убывает в промежутке (-∞; 0]. 5. Область значений функции есть множество неотрицательных чисел.

Докажем свойство 4. Пусть х₁ и х₂ принадлежат промежутку [0; +∞) и х₂ > х₁. Если х₁ = 0, то очевидно, что Если х1 > 0, то, перемножив почленно n одинаковых неравенств х₂ > х₁ с положительными членами, получим верное неравенство Значит, в промежутке [0; +∞) функция возрастает. Пусть теперь х₁ и х₂ принадлежат промежутку (-∞; 0] и х₂ > х₁. Тогда -х₁ > -х₂, причем -x₁ и -х₂ принадлежат промежутку [0; +∞), и по доказанному выше (-x₁)ⁿ > (-х₂)ⁿ. Отсюда в силу четности п следует, что т. е. Значит, в промежутке (-∞; 0] функция убывает.

С возрастанием х график функции слева от начала координат опускается вниз, а справа поднимается вверх.

Остановимся теперь на свойстве 5. Мы установили, что при любом х и четном n функция принимает неотрицательные значения. Можно доказать, что любое неотрицательное число является значением степенной функции с натуральным показателем при некотором х ≥ 0. Значит, область значений функции — промежуток [0; +∞). График функции пересекает любая прямая у = а, если а ≥ 0. Если же а < 0, то прямая у = а не пересекает график.

На рисунке 36 изображены графики функций у = х² и у = x⁴. На рисунке 37 показано, как выглядит график функции у = хⁿ с четным показателем n.

Рассмотрим теперь свойства степенной функции у = хⁿ при нечетном n. Эти свойства аналогичны свойствам функции у = x³.

1. Если х = 0, то у = 0. График функции проходит через начало координат. 2. Если х > 0, то у > 0; если х < 0, то у < 0. График функции расположен в первой и третьей координатных четвертях. 3. Противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции. Это следует из того, что при нечетном n для любого х верно равенство (-x)n = -хn. 4. Функция возрастает на всей области определения. 5. Область значений функции есть множество всех действительных чисел.

Продолжение >>>