Третий признак подобия треугольников

Теорема

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Доказательство

Пусть стороны треугольников АВС и А₁В₁С₁ пропорциональны:

Докажем, что Для этого, учитывая второй признак подобия треугольников, достаточно доказать, что ∠A = ∠A₁. Рассмотрим треугольник АВС₂, у которого ∠1 = ∠A₁, ∠2 = ∠B₁ (см. рис. 192,6). Треугольники АВС₂ и А₁В₁С₁ подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому

Сравнивая эти равенства с равенствами (1), получаем: ВС = ВС₂, СА = С₂А. Треугольники АВС и АВС₂ равны по трём сторонам. Отсюда следует, что ∠A = ∠1, а так как ∠1 = ∠A₁, то ∠A = ∠A₁.

Теорема доказана.