Главная >> Геометрия 7—9 классы. Атанасян

§ 2. Признаки подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Теорема

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство

Рассмотрим два треугольника АВС и А₁В₁С₁, у которых ∠A = ∠A₁ (рис. 192, а). Докажем, что Для этого, учитывая первый признак подобия треугольников, достаточно доказать, что ∠B = ∠B₁.

Рассмотрим треугольник АВС₂, у которого ∠1 = ∠A₁, ∠2 = ∠B₁ (рис. 192, б). Треугольники АВС₂ и А₁В₁С₁ подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому С другой стороны, по условию Из этих двух равенств получаем АС = АС₂.

Треугольники АВС и АВС₂ равны по двум сторонам и углу между ними (АВ — общая сторона, АС = АС₂ и ∠A = ∠1, поскольку ∠A = ∠A₁ и ∠1 = ∠A₁). Отсюда следует, что ∠B = ∠2, а так как ∠2 = ∠B₁, то ∠B = ∠B₁.

Теорема доказана.