Главная >> Геометрия 7—9 классы. Атанасян

§ 2. Простейшие задачи в координатах

Простейшие задачи в координатах

Введение системы координат даёт возможность изучать геометрические фигуры и их свойства с помощью уравнений и неравенств и, таким образом, использовать в геометрии методы алгебры. Такой подход к изучению свойств геометрических фигур называется методом координат.

Решим три вспомогательные задачи а) — в).

а) Координаты середины отрезка. Пусть в системе координат Оху точка А имеет координаты (х₁; у₁), а точка В — координаты (х₂; у₂). Выразим координаты (х; у) середины С отрезка АВ через координаты его концов.

Так как точка С — середина отрезка АВ, то

(Это равенство было доказано в п. 87.)

Координаты векторов равны соответствующим координатам точек С, А к В: Записывая равенство (1) в координатах, получим:

Таким образом, каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов.

б) Вычисление длины вектора по его координатам. Докажем, что длина вектора (x; у) вычисляется по формуле

Отложим от начала координат вектор и проведём через точку А перпендикуляры АА₁ и АА₂ к осям Ох и Оу (рис. 280). Координаты точки А равны координатам вектора т. е. (х; у). Поэтому ОА₁ = |х|, АА₁ = ОА₂ = |y| (мы рассматриваем случаи, когда х ≠ 0 и у ≠ 0; другие случаи рассмотрите самостоятельно). По теореме Пифагора

Но поэтому что и требовалось доказать.

в) Расстояние между двумя точками. Пусть точка М₁ имеет координаты (х₁; у₁), а точка М₂ — координаты (х₂; у₂). Выразим расстояние d между точками М₁ и М₂ через их координаты.

Рассмотрим вектор Его координаты равны {х₂ - х₁, у₂ - y₁}. Следовательно, длина этого вектора может быть найдена по формуле

Но Таким образом, расстояние d между точками М₁ (x₁; у₁) и М₂ (х₂; у₂) выражается формулой