|
|
|
§ 3. Уравнения окружности и прямой Взаимное расположение двух окружностейИсследуем взаимное расположение двух окружностей в зависимости от их радиусов r, R и расстояния d между их центрами. Для определённости будем считать, что r ≤ R. Если центры окружностей совпадают, т. е. d = 0, то окружности называются концентрическими, и окружность радиуса г лежит внутри круга радиуса R (рис. 288, а). Пусть d > 0. Введём прямоугольную систему координат Оху так, чтобы точка О была центром первой окружности, а точка с координатами (d; 0) — центром второй окружности. В этой системе координат уравнения первой и второй окружностей имеют вид х2 + у2 = R2, (х - d)2 + у2 = r2. (4)
Если система уравнений (4) имеет решением пару чисел х = х0, у = у0, то точка М0 (х0; у0) является общей точкой данных окружностей (рис. 288, б), и обратно: если М0 (x0; у0) — общая точка данных окружностей, то пара чисел х = х0, у = у0 является решением системы уравнений (4). Пусть система (4) имеет решением пару чисел x = х0, у = у0, т. е. справедливы числовые равенства
Вычитая из первого равенства второе, подучаем равенство 2x0d - d2 = R2 - r2, откуда
Заметим, что х0 > 0, поскольку R ≥ r и d > 0. Кроме того, как следует из первого равенства (5), R - r ≤ R + r. (7) Отметим, что х0 = R, если d = R - r или d = R + r, и x0 < R, если R - r < d < R + r.
|
|
|