Скалярное произведение векторов

Мы знаем, как выполняется сложение векторов и умножение вектора на число. Введём ещё одно действие над векторами — скалярное умножение векторов.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов и обозначается так: или

По определению

Если векторы и перпендикулярны, т. е. то и поэтому Обратно: если и векторы и ненулевые, то из равенства (1) получаем и, следовательно, т. е. векторы и перпендикулярны.

Таким образом, скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.

Из формулы (1) также следует, что скалярное произведение ненулевых векторов и положительно (отрицательно) тогда и только тогда, когда

На рисунке 302 поэтому

Если то по формуле (1) получаем В частности,

Рис. 302

Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора обозначается ² Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Скалярное произведение векторов широко используется в физике. Например, из курса механики известно, что работа А постоянной силы при перемещении тела из точки М в точку N (рис. 303) равна произведению длин векторов силы и перемещения на косинус угла между ними:

Рис. 303

Правая часть этого равенства представляет собой скалярное произведение векторов и , т. е. работа А силы равна скалярному произведению векторов силы и перемещения: