§ 3. Скалярное произведение векторов
Скалярное произведение в координатах
Скалярное произведение двух векторов можно вычислить, зная координаты этих векторов.
Теорема
В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов α {x1; y1) и β {х2; у2} выражается формулой
|
Доказательство
Если хотя бы один из векторов и нулевой, то справедливость равенства (2) очевидна, так как координаты нулевого вектора равны нулю. Рассмотрим случай, когда векторы и ненулевые. Отложим от произвольной точки О векторы Если векторы и не коллинеарны (рис. 304, а), то по теореме косинусов
Это равенство верно и в том случае, когда векторы и коллинеарны (рис. 304, б, в).
Так как то равенство (3) можно записать так:
Векторы , и - имеют координаты {x1; y1}, {х2; у2} и {х2 - х1; у2 - у1}, поэтому
Подставив эти выражения в правую часть равенства (4), после несложных преобразований получим формулу (2). Теорема доказана.
Следствие 1
Ненулевые векторы {x1; y1} и {х2; у2} перпендикулярны тогда и только тогда, когда x1x2 + y1y2 = 0.
|
Следствие 2
Косинус угла α между ненулевыми векторами {х1; у1} и {х2; у2} выражается формулой
|
В самом деле, так как cos α, то
Подставив сюда выражения для • | | и | | через координаты векторов и получим формулу (5).
|