Площадь круга

Напомним, что кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью. Круг радиуса R с центром О содержит точку О и все точки плоскости, находящиеся от точки О на расстоянии, не большем R.

Выведем формулу для вычисления площади круга радиуса R. Для этого рассмотрим правильный n-угольник А₁А₂...А_n, вписанный в окружность, ограничивающую круг (рис. 314). Очевидно, площадь S данного круга больше площади Sn многоугольника А₁А₂...А_n, так как этот многоугольник целиком содержится в данном круге. С другой стороны, площадь S'_n, круга, вписанного в многоугольник, меньше S_n, так как этот круг целиком содержится в многоугольнике. Итак,

S'_n < S_n < S. (2)

Рис. 314

Будем теперь неограниченно увеличивать число сторон многоугольника. По формуле (3) § 1 имеем где r_n — радиус вписанной в многоугольник окружности. При n → ∞ поэтому r_n → R. Иными словами, при неограниченном увеличении числа сторон многоугольника вписанная в него окружность «стремится» к описанной окружности, поэтому S'_n → 5 при n → ∞. Отсюда и из неравенств (2) следует, что S_n → S при n → ∞.

По формуле (1) § 1 где Р_n — периметр многоугольника А₁А₂...А_n. Учитывая, что r_n → R, Р_n → 2πR, S_n → S при n → ∞, получаем Итак, для вычисления площади S круга радиуса R мы получили формулу

S = πR².

Замечание

В течение веков усилия многих математиков были направлены на решение задачи, получившей название задача о квадратуре круга: построить при помощи циркуля и линейки квадрат, площадь которого равна площади данного круга.

Только в конце XIX века было доказано, что такое построение невозможно.