|
|
|
§ 2. Длина окружности и площадь круга Длина окружностиЧтобы получить наглядное представление о длине окружности, представим себе, что окружность сделана из тонкой нерастяжимой нити. Если мы разрежем нить в какой-нибудь точке А и распрямим её, то получим отрезок АА1 ( длина которого и есть длина окружности (рис. 312).
Периметр любого правильного вписанного в окружность многоугольника является приближённым значением длины окружности. Чем больше число сторон такого многоугольника, тем точнее это приближённое значение, так как многоугольник при увеличении числа сторон всё ближе и ближе «прилегает» к окружности (рис. 313). Точное значение длины окружности — это предел, к которому стремится периметр правильного вписанного в окружность многоугольника при неограниченном увеличении числа его сторон.
Выведем формулу, выражающую длину окружности через её радиус. Пусть С и С' — длины окружностей радиусов R и R'. Впишем в каждую из них правильный n-угольник и обозначим через Рn и R'n их периметры, а через аn и а'n — их стороны. Используя формулу (2) из § 1, получаем: Следовательно,
Это равенство справедливо при любом значении n. Будем теперь неограниченно увеличивать число n. Так как Рn → С, Р'n → С' при n → ∞, то предел отношения Из равенства С = 2πR. Доказано, что π является бесконечной непериодической десятичной дробью, т. е. иррациональным числом. Рациональное число Выведем теперь формулу для вычисления длины l дуги окружности с градусной мерой α. Так как длина всей окружности равна 2πR, то длина дуги в 1° равна
|
|
|