Дополнительные задачи к главе VI

500. Докажите, что площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведённой к гипотенузе.

501. Площадь земельного участка равна 27 га. Выразите площадь этого же участка: а) в квадратных метрах; б) в квадратных километрах.

502. Высоты параллелограмма равны 5 см и 4 см, а периметр равен 42 см. Найдите площадь параллелограмма.

503. Найдите периметр параллелограмма, если его площадь равна 24 см², а точка пересечения диагоналей удалена от сторон на 2 см и 3 см.

504. Меньшая сторона параллелограмма равна 29 см. Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей к большей стороне, делит её на отрезки, равные 33 см и 12 см. Найдите площадь параллелограмма.

505. Докажите, что из всех треугольников, у которых одна сторона равна а, а другая — b, наибольшую площадь имеет тот, у которого эти стороны перпендикулярны.

506. Как провести две прямые через вершину квадрата, чтобы разделить его на три фигуры, площади которых равны?

507.* Каждая сторона одного треугольника больше любой стороны другого треугольника. Следует ли из этого, что площадь первого треугольника больше площади второго треугольника?

508.* Докажите, что сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки.

509. Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от положения этой точки.

510.* Через точку D, лежащую на стороне ВС треугольника АВС, проведены прямые, параллельные двум другим сторонам и пересекающие стороны АВ и АС соответственно в точках Е и F. Докажите, что треугольники CDE и BDF равновеликие.

511. В трапеции ABCD с боковыми сторонами АВ и CD диагонали пересекаются в точке О.

а) Сравните площади треугольников ABD и ACD.
б) Сравните площади треугольников АВО и С DO.
в) Докажите, что выполняется равенство О А • ОВ = ОС • OD.

512.* Основания трапеции равны а и b. Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции, параллельный основаниям, разделяет трапецию на две равновеликие трапеции. Найдите длину этого отрезка.

513. Диагонали ромба равны 18 м и 24 м. Найдите периметр ромба и расстояние между параллельными сторонами.

514. Площадь ромба равна 540 см², а одна из его диагоналей равна 4,5 дм. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны ромба.

515. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если: а) боковая сторона равна 20 см, а угол при основании равен 30°; б) высота, проведённая к боковой стороне, равна 6 см и образует с основанием угол в 45°.

516. В треугольнике АВС ВС = 34 см. Перпендикуляр MN, проведённый из середины ВС к прямой АС, делит сторону АС на отрезки AN = 25 см и NC= 15 см. Найдите площадь треугольника АВС.

Продолжение >>>