§ 10. Представление чисел в позиционных системах счисления

Самое главное

Система счисления — это способ записи (обозначения) чисел. Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от её положения (места, позиции) в записи числа.

Существует бесконечно много позиционных систем счисления. Каждая из них определяется целым числом q > 1, называемым основанием системы счисления. Для записи чисел в позиционной системе счисления с основанием q нужен алфавит из q цифр: 0, 1, 2, ..., q - 1.

Число А, свёрнутая запись которого в системе счисления с основанием q имеет вид а_n-1а_n-2...а₀,а_-1...а_-m, может быть представлено в развёрнутой форме как а_n-1 • q^n-1 + а_n-2 • q^n-2 + ... + а₀ • q⁰ + а_-1 • q^-1 + ... + а_-m • q^-m.

1) записать развёрнутую форму числа А_q;

2) представить все числа, фигурирующие в развёрнутой форме, в десятичной системе счисления;

3) вычислить значение полученного выражения по правилам десятичной арифметики.

Вопросы и задания

1. Что такое система счисления? Какие классы систем счисления принято выделять?

2. Дайте определение позиционной системы счисления. Что называется алфавитом системы счисления? Что называется базисом позиционной системы счисления? Что называется основанием позиционной системы счисления?

3. Сколько цифр используется в системе счисления с основанием 2, 3, 5, 8, 16, 100, q?

4. Какая форма записи числа называется развёрнутой?

5. Запишите в развёрнутой форме числа:

1) 143,511₁₀; 2) 1435,11₈; 3) 143,511₁₆.

6. Воспользуйтесь схемой Горнера для представления чисел:

1) 12345₁₀; 2) 12345₈; 3) 0,12345₆.

7. Вычислите десятичные эквиваленты следующих чисел:

1) 120₃; 2) 100,21₄; 3) 5А,124₁₆.

8. Существует ли треугольник, длины сторон которого выражаются числами 12₈, 122₃ и 11011₂?

9. Укажите целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам:

1) [202₃; 1000₃]; 2) [14₈, 20₈]; 3) [28₁₆, 30₁₆].

10. Найдите основание х системы счисления, если известно:

1) 47₁₀ = 21_x; 2) 1331_x = 6₁₀.

11. Десятичное число 63 в некоторой системе счисления записывается как 120. Определите основание системы счисления.

12. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству 9D₁₆ < С < 237₈?

1) 10011010₂; 2) 10011110₂; 3) 10011111₂; 4) 11011110₂.

13. Как изменится величина чисел 311,211₄ и 23,45₆ при переносе запятой на:

1) один знак вправо;
2) два знака влево?

14. При переносе запятой на два знака вправо число 240,13_x увеличилось в 25 раз. Чему равно х?

15. Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления?

16. Найдите наименьшие основания систем счисления х и у, исходя из условий:

1)23_х = 21_у; 2)51_х = 15_у; 3) 144_x = 441_у.

17. Решите уравнение 54₇ + х = 320₅.

18. Все трёхбуквенные слова, составленные из букв И, М, Р, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка:

1. НИИ
2. НИМ
3. НИР
4. ИМИ
...

Выясните общее количество слов в этом списке. На каких местах в этом списке стоят слова МИМ, МИР, РИМ?

19. Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 26, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на 22.

20. Трёхзначное число, записанное в системе с основанием 3, при перестановке крайних цифр становится числом, выражающим то же количество, но уже в системе с основанием 4. Найдите это число.

21. Исполнитель умеет сравнивать однозначные числа, представленные в некоторой позиционной системе счисления. Составьте для него:

1) алгоритм сравнения двух двухзначных чисел;
2) алгоритм сравнения двух п-значных чисел.