§ 12. Арифметические операции в позиционных системах счисления

Самое главное

Арифметические операции в позиционных системах счисления с основанием q выполняются по правилам, аналогичным правилам, действующим в десятичной системе счисления.

Если необходимо вычислить значение арифметического выражения, операнды которого представлены в различных системах счисления, можно:

1) все операнды представить в привычной нам десятичной системе счисления;

2) вычислить результат выражения в десятичной системе счисления;

3) перевести результат в требуемую систему счисления.

Для работы с десятичными числами вида 2ⁿ полезно иметь в виду следующие закономерности в их двоичной записи:

Для натуральных n и m таких, что n > m, получаем:

Вопросы и задания

1. Выполните арифметические операции над двоичными числами:

1) 10010011 + 101101;
2) 110010,11 + 110110,11;
3) 110101110 - 10111111;
4) 111110 • 100010;
5) 11111100101 : 101011.

Для того чтобы убедиться в правильности полученных результатов, найдите десятичные эквиваленты операндов и результата.

2. Какое число следует за каждым из данных:

1) 223₄; 2) 677₈; 3) 2222₃; 4) 1001₂?

Ответ для каждого числа дайте в указанной и десятичной системах счисления. 3. Какое число предшествует каждому из данных:

1) 222₃; 2) 1000₅; 3) 233₄; 4) 1001₂?

Ответ для каждого числа дайте в указанной и десятичной системах счисления.

4. Сумму восьмеричных чисел 17 + 1700 + 170000 + 17000000 + 1700000000 перевели в шестнадцатеричную систему счисления. Найдите в шестнадцатеричной записи числа, равного этой сумме, пятую цифру слева.

5. Вычислите значение выражения:

1) (1111101₂ + AF₁₆) : 36₈;
2) 125₈ + 11101₂ • А2₁₆ - 1417₈.

6. Найдите среднее арифметическое следующих чисел:

1) 10010110₂, 1100100₂ и 110010₂;
2) 226₈, 64₁₆ и 62₈.

7. В примерах на сложение восстановите неизвестные цифры, обозначенные знаком вопроса, определив вначале, в какой системе счисления эти числа записаны.

8. Даны 4 целых числа, записанные в двоичной системе счисления:

11000000, 11000011, 11011001, 11011111.

Сколько среди них чисел, больших, чем АВ₁₆ + 25₈?

9. Сколько единиц в двоичной записи числа 4²⁰¹⁴ + 2²⁰¹⁵ - 9?

*10. Сколько единиц в двоичной записи числа

8⁴⁰²⁴ - 4¹⁶⁰⁵ + 2¹⁰²⁴ - 126?

11. Сколько цифр в восьмеричной записи числа 2¹⁰²⁴ + 2¹⁰²⁶?

12. Какая первая цифра в шестнадцатеричной записи числа 2¹⁰²⁴ + 2¹⁰²⁵?