Глава 1. Кинематика точки и твёрдого тела

Примеры решения задач по теме: Кинематика твёрдого тела

При решении задач по этой теме обращайте внимание на связь кинематических характеристик поступательного и вращательного движений. При этом могут быть в одних случаях одинаковыми угловые скорости (например, задача 2), а в других — линейные скорости движения (например, задача 1).

Задача 1. Два шкива соединены ременной передачей, передающей вращение от одного шкива к другому. Ведущий шкив вращается с частотой ν₁ = 3000 об/мин, ведомый шкив — с частотой ν₂ = 600 об/мин. Ведомый шкив имеет диаметр D₂ = 500 мм. Какой диаметр D₁ у ведущего шкива?

Р е ш е н и е. Ведущий шкив вращается с угловой скоростью ω₁ = 2πν₁, а ведомый — со скоростью ω₂ = 2πν₂. Скорость приводного ремня равна линейной скорости точек окружностей того и другого шкива: υ = ω₁R₁ = ω₂R₂.

Отсюда Следовательно, искомый диаметр

Задача 2. Колесо, радиус которого 40 см, катится по горизонтальной дороге со скоростью 2 м/с. Определите скорости относительно дороги точек колеса, находящихся на концах его вертикального и горизонтального диаметров, а также ускорения этих точек.

Р е ш е н и е. Точка О₁ неподвижна относительно земли (рис. 1.64), следовательно, υ₁ = 0. Если считать, что через точку О₁ проходит мгновенная ось вращения, то относительно неё скорости всех точек, согласно уравнению (1.29), будут равны υ = ωr, где r — расстояние от точки O₁ до выбранной точки обода. Угловая скорость вращения ω = υ₀/R.

Тогда υ_c = υ_D = ωR√2 = υ₀√2 ≈ 2,8 м/с.

Скорость точки A υ_A = 2ωR = 2υ₀ = 4 м/с.

Все точки обода относительно оси вращения движутся с одинаковыми линейными скоростями и, следовательно, с одинаковым ускорениями

Заметим, что эту задачу также можно решить на основе закона сложения скоростей. Так, например, скорость точки D равна сумме скорости ₀ подвижной системы отсчёта, связанной с осью колеса, и скорости ₁ точки обода D относительно этой оси.

Задача 3. Катушка с намотанной на неё нитью может катиться по поверхности горизонтального стола без скольжения. С какой скоростью υ₀ и в каком направлении будет перемещаться ось катушки, если конец нити тянуть в горизонтальном направлении со скоростью υ? Радиус внутренней части катушки r, внешней — R (рис. 1.65).

Окончание >>>