§ 1.11. Сложение гармонических колебаний. Спектр колебаний

На тело может действовать не одна, а несколько периодических сил, отличающихся амплитудой, частотой и фазой. В соответствии с принципом независимости сил каждая из сил вызывает движение тела (колебание), не зависящее от одновременного действия других сил. Благодаря этому происходит сложение колебаний, и в результате тело совершает некоторое сложное колебание, представляющее собой наложение отдельных колебаний*.

* Имеет смысл отметить, что такая простая картина возникает только в линейных колебательных системах, в которых сила, возвращающая тело в положение равновесия, прямо пропорциональна смещению от положения равновесия. Если же возвращающая сила зависит от смещения нелинейно, то картина колебаний чрезвычайно сильно усложняется. Результирующее колебание уже не является простой суммой отдельных колебаний. Такие сложные нелинейные системы мы рассматривать не будем. Правда, именно изучение колебаний в нелинейных системах представляет наибольший теоретический и практический интерес в современной физике.

Наиболее просто складываются гармонические колебания одинаковых частот. Предварительно рассмотрим проекцию вращающегося вектора.

Пусть вектор вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси, проходящей через точку О (рис. 1.24).

Модуль вектора обозначим через а. В начальный момент времени t = 0 вектор образует с осью X угол φ₀. В дальнейшем при равномерном вращении угол между вектором и осью X линейно растет со временем:

φ = ωt + φ₀. (1.11.1)

Проекция вектора на ось X равна:

х = a cos φ = a cos (ωt + φ₀). (1.11.2)

Одновременно- проекция этого вектора на ось Y оказывается равной

у = a sin (ωt + φ₀). (1.11.3)

Мы получили простой, но важный результат.

Проекция вектора, вращающегося с постоянной скоростью, совершает гармонические колебания с частотой, равной угловой скорости вращения вектора. Амплитуда этих колебаний равна модулю вектора, а начальная фаза равна углу, образованному вектором с осью координат X в начальный момент времени.

Сложение гармонических колебаний одинаковых частот

Сложение колебаний одинаковых частот проще всего осуществить c помощью так называемой векторной диаграммы.

Векторной диаграммой называют графическое изображение гармонических колебаний и соотношений между гармонически колеблющимися величинами с помощью векторов.

Построение векторной диаграммы основано на известном факте: проекция результирующего вектора равна сумме проекций слагаемых векторов. Поэтому сложение гармонических колебаний

x₁ = a cos (ωt + φ₀₁) и х₂ = b cos (ωt + φ₀₂) (1.11.4)

осуществляется так. Строят векторы , изображающие первое и второе колебания (рис. 1.25). Их модули равны амплитудам складываемых колебаний, а угол между ними, равный

φ_c = φ₀₂- φ₀₁, (1.11.5)

представляет собой сдвиг фаз между этими колебаниями.

Так как частоты складываемых колебаний равны, то угол φ_c между векторами не меняется.

Проекция суммарного вектора представляет собой результирующее колебание:

x = х₁ + х₂ = c cos (ωt + φ₀). (1.11.6)

Оно происходит с той же частотой ю, что и колебания х₁ и х₂. Модуль с вектора равен амплитуде результирующих колебаний. По теореме косинусов для треугольника ОСА получим:

Амплитуда результирующего колебания зависит от амплитуд складываемых колебаний а и b и сдвига фаз между ними. С помощью рисунка 1.25 можно найти и начальную фазу φ₀.

Окончание параграфа >>>