§ 1.2. Уравнение движения груза, подвешенного на пружине

Для того чтобы описать колебания тела, например груза на пружине или шарика на нити, количественно, нужно воспользоваться законами механики Ньютона.

Согласно второму закону Ньютона произведение массы тела m на ускорение равно действующей на тело силе :

m = . (1.2.1)

Второй закон Ньютона (1.2.1) непосредственно описывает движение тела, размеры которого не оказывают существенного влияния на характер движения. В таком случае тело можно считать материальной точкой.

Чтобы записать второй закон Ньютона для проекций на оси координат, надо выбрать подходящую систему отсчета, относительно которой уравнение движения выглядит особенно просто и потому удобно для решения. Далее надо выяснить, как модули и направления сил зависят от положения (координат) тела и его скорости. Если тело движется вдоль прямой, как в случае колебаний груза на пружине, то сделать это нетрудно.

Запишем уравнение движения для груза на пружине. На груз действует сила упругости у и сила тяжести = m. Действием трения пренебрежем. Направим ось X вертикально вниз (рис. 1.7). Начало отсчета (точку О) выберем на уровне положения равновесия. В положении равновесия пружина растянута на величину x₀, значение которой определяется из закона Гука: kx₀ = mg, где k — жесткость пружины, m — масса груза, a g — ускорение свободного падения. Отсюда

Проекция силы упругости

(F_y)x = -k(x₀ + х),

где х — координата груза относительно положения равновесия.

Величина x₀ + х представляет собой удлинение пружины (см. рис. 1.7).

Уравнение движения груза запишется так:

mа_x = -k(x + x₀) + mg. (1.2.3)

Подставляя в это уравнение значение x₀ из выражения (1.2.2), получим окончательно:

mа_х = -kx. (1.2.4)

Уравнение движения не содержит силы тяжести. Сила тяжести, действуя на груз, вызывает растяжение пружины на постоянную величину. Но это не влияет на характер движения груза. Просто колебания происходят относительно положения равновесия тела при растянутой на x₀ пружине. В отсутствие тяготения уравнение движения (1.2.4) имело бы точно такую же форму, но только колебания происходили бы относительно конца нерастянутой пружины. Наличие силы тяжести несущественно для колебаний груза на пружине в отличие от колебаний маятника.

Масса m и жесткость пружины k — постоянные величины. Разделив левую и правую части уравнения (1.2.4) на m и введя новое обозначение

Это уравнение колебаний груза на пружине. Оно очень простое: ускорение груза прямо пропорционально его координате х, взятой с противоположным знаком. Самым замечательным является то, что такие же (с точностью до обозначений) уравнения описывают свободные колебания самых различных систем, в частности колебания математического маятника.

Постоянная ω₀ имеет важный физический смысл. Как мы впоследствии увидим, — это циклическая частота колебаний груза. Она выражается в секундах в минус первой степени.