§ 1.3. Уравнение движения математического маятника

Рассмотрим простой маятник — шарик, подвешенный на длинной прочной нити. Если размеры шарика много меньше длины нити, то этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку. Растяжением нити также можно пренебречь, так как оно очень мало. Можно пренебречь и ее массой по сравнению с массой шарика. Таким образом, вместо реального маятника — шарика определенного размера на нити, которая, конечно, немного деформируется при движении и имеет массу, мы вправе рассматривать простую модель: материальную точку, подвешенную на нерастяжимой невесомой нити. Такая модель маятника называется математическим маятником в отличие от реального маятника, называемого физическим. Маленький шарик на длинной тонкой нити должен вести себя практически так же, как и математический маятник. Выведем маятник из положения равновесия и отпустим. На шарик будут действовать две силы: сила тяжести = m, направленная вертикально вниз, и сила упругости нити _у, направленная вдоль нити (рис. 1.8). Конечно, при движении маятника на него еще действует сила трения. Но мы будем считать ее пренебрежимо малой.

Силу тяжести удобно разложить на две составляющие: тангенциальную _τ, направленную по касательной к траектории перпендикулярно к нити, и нормальную _n, направленную вдоль нити. Сила упругости нити _y и составляющая силы тяжести _n перпендикулярны к скорости маятника и сообщают ему нормальное ускорение. Действие этих сил не меняет скорости маятника по модулю, а приводит лишь к изменению направления скорости. Вектор скорости непрерывно поворачивается, так что в любой момент времени скорость направлена по касательной к дуге окружности — траектории маятника.

Тангенциальная составляющая _τ силы тяжести создает тангенциальное ускорение, характеризующее изменение скорости по модулю. Она всегда направлена к положению равновесия, и именно она вызывает колебания маятника.

радиус которой равен длине нити

При колебаниях шарика на нерастяжимой нити он всегда движется по дуге окружности, радиус которой равен длине нити l. Поэтому положение шарика в любой момент определяется одной величиной — углом α отклонения нити от вертикали (см. рис. 1.8). Будем считать угол α положительным, если маятник отклонен вправо от положения равновесия, и отрицательным, если он отклонен влево.

Уравнение для тангенциальной составляющей ускорения

Тангенциальная проекция силы тяжести в момент, когда нить маятника отклонена от положения равновесия на угол а, выражается так:

F_τ = -F sin α = -mg sin α. (1.3.1)

(Мы считаем значение проекции положительным, если составляющая силы направлена слева направо.) Знак «-» в уравнении (1.3.1) стоит из-за того, что F_τ и α имеют противоположные знаки. При отклонении маятника вправо (α > 0) составляющая _τ силы тяжести направлена влево и ее проекция отрицательна: F_τ < 0. При отклонении маятника влево (α < 0) эта проекция положительна: F_τ > 0.

Согласно второму закону Ньютона

mа_τ = F_τ,

или

mа_τ =-mg sin α. (1.3.2)

Разделив левую и правую части этого уравнения на т, получим:

а_τ =-g sin α. (1.3.3)

До сих пор считалось, что углы отклонения нити от вертикали могут быть любыми. В дальнейшем будем считать их малыми. При малых углах, если выражать угол α в радианах, sin α ≈ α. Следовательно,

a_τ = -gα. (1.3.4)

Смещение шарика маятника от положения равновесия можно характеризовать не только углом, но и величиной, измеряемой длиной дуги ОА (см. рис. 1.8), взятой со знаком «+», если шарик смещается от положения равновесия вправо, и со знаком «-», если он смещается влево. Очевидно, что

где s — длина дуги ОА.

Подставив в уравнение (1.3.4) это значение α, получим:

Введя обозначение

приходим к окончательному виду уравнения движения маятника при малых углах отклонения от положения равновесия:

Это уравнение имеет такой же вид, как и уравнение (1.2.6) движения шарика, прикрепленного к пружине. Здесь только вместо проекции ускорения а_x стоит тангенциальное ускорение а_τ и вместо координаты х — величина s. Да и зависит уже не от жесткости пружины и массы груза, а от ускорения свободного падения и длины нити. Но по-прежнему ускорение прямо пропорционально смещению (определяемому дугой) шарика от положения равновесия. Если бы мы в случае маятника обозначили тангенциальное ускорение через а_x, а дугу через х, то оба уравнения (1.2.6) и (1.3.8) были бы неразличимы.

Важное заключение. Мы пришли к замечательному выводу: уравнения движения, описывающие колебания таких различных систем, как груз на пружине и маятник, одинаковы. Это означает, что движение шарика и колебания маятника происходят одинаковым образом. Смещения груза на пружине и шарика маятника от положения равновесия изменяются со временем по одному и тому же закону, несмотря на то, что силы, вызывающие колебания, имеют различную физическую природу. В первом случае это сила упругости, а во втором — составляющая силы тяжести.

Уравнение движения (1.2.6), как и уравнение (1.3.8), выглядит внешне очень просто: ускорение прямо пропорционально координате. Но решить его, т. е. определить, как меняется координата колеблющегося тела с течением времена, не просто. До сих пор в механике мы в основном рассматривали движение с постоянным ускорением. При колебаниях же ускорение меняется со временем, так как меняется сила, действующая на тело.