§ 1.4. Гармонические колебания

Зная, как связаны между собой ускорение и координата колеблющегося тела, можно найти зависимость координаты от времени.

Ускорение — вторая производная координаты по времени

Мгновенная скорость, как известно из курса математики, представляет собой производную координаты по времени. Ускорение — это производная скорости по времени, или вторая производная координаты по времени*. Поэтому уравнение (1.2.6), описывающее колебания груза на пружине, можно записать так:

* Для краткости мы говорим об ускорении и скорости. В действительности имеются в виду проекции этих величин.

вторая производная координаты по времени

где х" — вторая производная координаты по времени. Согласно уравнению (1.4.1) при свободных колебаниях координата х изменяется со временем так, что вторая производная координаты по времени прямо пропорциональна самой координате и противоположна ей по знаку.

Гармонические колебания

Из курса математики известно, что функции синус и косинус обладают тем свойством, что вторая производная функции пропорциональна самой функции, взятой с противоположным знаком. Можно доказать, что никакие другие функции этим свойством не обладают. Значит, координата тела, совершающего свободные колебания, меняется с течением времени по закону синуса или косинуса.

Когда тело совершает колебания, его движения периодически повторяются. Поэтому неудивительно, что изменение co временем координаты тела выражается через периодические функции синус или косинус.

Периодические изменения физической величины в зависимости от времени по закону синуса или косинуса называются гармоническими колебаниями.

Амплитуда колебаний

Важной характеристикой колебательного движения является амплитуда.

Амплитудой гармонических колебаний называется модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия.

Амплитуда может иметь различные значения в зависимости от того, насколько мы смещаем тело от положения равновесия в начальный момент времени, и от того, какая скорость сообщается при этом телу. Амплитуда определяется начальными условиями. Но максимальные значения модуля синуса и косинуса равны единице. Поэтому решение уравнения (1.4.1) не может просто выражаться косинусом или синусом. Оно должно иметь вид произведения амплитуды х_m на синус или косинус.

Решение уравнения движения, описывающего свободные колебания

Какую же форму имеет решение уравнения (1.7.1)? Нельзя просто считать, что х = х_m sin t или х = х_m cos t, так как в этом случае вместо х" = -X получилось бы равенство х" = -x_m sin t = -х.

Но небольшое усложнение формы решения сразу приведет нас к цели. Чтобы в выражении второй производной x"(t) был множитель , запишем решение уравнения (1.4.1) в следующем виде:

х = х_m sin ω₀t. (1-4.2)

В этом случае первая производная (скорость) принимает вид:

х' = ω₀х_m cos ω₀t,

а вторая производная (ускорение) равна:

Мы в точности получили уравнение (1.4.1). Следовательно, функция (1.4.2) есть решение исходного уравнения (1.4.1). Конечно, решением исходного уравнения будет также функция:

х = х_m cos ω₀t.

График зависимости координаты тела от времени согласно уравнению (1.4.2) представляет собой синусоиду, изображенную на рисунке 1.9.

Но выражение (1.4.2) — это еще не самое общее решение уравнения (1.4.1). Нетрудно убедиться, что решением уравнения (1.4.1) будет также синус или косинус, если к их аргументу добавить произвольную постоянную величину φ₀:

х = х_m sin (ω₀t + φ₀). (1.4.3)

Постоянная величина φ₀ не определяется уравнением (1.4.1). В дальнейшем мы покажем, что подобно амплитуде колебаний она определяется начальными условиями.

Функция

x = х_m cos (ω₀t + φ₀) (1-4.4)

также является решением уравнения (1.4.1).