§ 4.7. Стоячие волны как свободные колебания тел

При образовании стоячей волны на шнуре, один конец которого закреплен, в месте закрепления находится узел. Другому концу сообщаются колебания заданной амплитуды. Это можно сделать просто рукой или посредством кривошипного механизма.

Стоячие волны

Стоячая волна должна иметь такую амплитуду колебаний в пучности, чтобы амплитуда колебаний незакрепленного конца шнура в точности равнялась бы амплитуде задаваемого периодического смещения. Отсюда следует, что, чем ближе лежит узел образовавшейся стоячей волны к незакрепленному концу шнура, тем больше амплитуда стоячей волны в пучности при заданной амплитуде колебаний этого конца (рис. 4.18). Это значит, что амплитуда стоячей волны в пучности будет велика, если вблизи незакрепленного конца шнура находится узел.

Вследствие затухания амплитуда отраженной волны обязательно немного меньше, чем падающей. Поэтому при любых обстоятельствах амплитуда колебаний незакрепленного конца шнура не равна нулю, хотя она и может быть мала. Ведь только при точном равенстве амплитуд колебания с противоположными фазами взаимно уничтожаются. Амплитуда стоячей волны в пучности будет максимальной в том случае, когда на нижнем (по рисунку) конце шнура (или очень близко от него), так же как и на верхнем, находится узел. Но если на обоих концах шнура находятся узлы, то на шнуре должно укладываться целое число полуволн (ведь расстояние между соседними узлами равно

где k = 1, 2, 3, ... — целые числа, а l — длина шнура. Шнур будет колебаться с большой амплитудой только в том случае, когда частота этих колебаний (связанная с длиной волны) равна:

Определяемые этой формулой частоты — это собственные частоты шнура.

В существовании собственных частот у упругого тела можно убедиться на опыте. Для этого лучше воспользоваться не шнуром, а натянутой струной. Большой разницы здесь нет, но колебания струны наблюдать удобнее. Пусть закреплен левый конец струны, а натяжение ее создается грузом, прикрепленным к правому концу (рис. 4.19).

Оттянув струну посредине и отпустив, мы возбудим колебания. На струне будет укладываться половина длины волны (рис. 4.20, а), и частота колебаний равна:

где υ — скорость распространения бегущей по струне волны. Скорость распространения волны зависит от натяжения струны и плотности материала струны. Увеличивая силу натяжения струны (добавляя груз), нетрудно обнаружить увеличение частоты колебаний.

Когда система после выведения ее из положения равновесия начинает совершать колебания, то это — свободные колебания. Следовательно, рассмотренные колебания струны тоже с полным правом можно назвать свободными.

Если одну половину струны оттянуть вверх, а другую вниз так, чтобы отклонение середины струны равнялось нулю, то возникнут свободные колебания с частотой

При этом, кроме узлов на концах струны, появляется еще узел посредине (рис. 4.20, б). Пучностей будет две.

Можно возбудить колебания струны с двумя узлами (кроме узлов на концах; рис. 4.20, в). Тогда пучностей будет три. Получить колебания более высоких частот этим методом довольно трудно, но в принципе вполне возможно.

Итак, у струны (это верно и для натянутого резинового шнура) имеется набор собственных частот.

Наименьшая из возможных частот колебаний называется основной частотой или основным тоном. Все остальные собственные частоты в целое число раз больше основной. Они называются обертонами*.

* В описанных опытах наряду с основным тоном возбуждаются и обертоны, их амплитуды невелики.

Собственными частотами колебаний обладает не только струна или натянутый шнур, но и любое упругое тело, например твердый стержень или пластина. В упругом твердом стержне можно возбудить как поперечные, так и продольные стоячие волны (т. е. свободные колебания).

При вынужденных колебаниях, происходящих под действием внешней периодической силы, амплитуда колебаний (амплитуда стоячей волны в пучности) достигает максимума, когда на шнуре укладывается целое число полуволн. При этом частота внешней силы определяется выражением (4.7.2).

Амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума при резонансе, когда частота внешней силы равна собственной частоте колебаний. Поэтому частоты, определяемые формулой (4.7.2), мы должны, действительно, рассматривать как собственные частоты шнура. Причем для одного и того же шнура этих частот много. В случае же колебаний груза на пружине или маятника собственная частота одна.

1. Изобразите стоячую волну в следующие моменты времени:

(T — период колебаний).

2. Стоячая волна возбуждается в шнуре с помощью колебаний конца шнура с амплитудой s_m. Может ли амплитуда колебаний в пучности волны быть больше s_m?

3. Нарисуйте профиль стоячей волны в стержне, концы которого не закреплены.