Главная >> Колебания и волны. Физика 11 класс. Мякишев

Глава 1. Механические колебания

§ 1.6. Фаза колебаний. Определение амплитуды и начальной фазы из начальных условий

Фаза колебаний

При заданной амплитуде гармонических колебаний координата колеблющегося тела в любой момент времени однозначно определяется аргументом синуса или косинуса, равным φ = ω₀t + φ₀ [формулы (1.4.3) и (1.4.4)].

Величину φ, стоящую под знаком синуса или косинуса, называют фазой* колебаний, описываемых этими функциями. Выражается фаза в угловых единицах — радианах или градусах.

* От греческого слова phasis — появление, ступень развития какого-либо явления.

Фаза определяет не только координаты, но и другие физические величины, например скорости и ускорения, изменяющиеся по гармоническому закону.

Начальная фаза. Сдвиг фаз

В начальный момент времени t = 0 фаза

φ = ω₀t + φ₀                     (1.6.1)

имеет значение φ₀. Это значение фазы называется начальной фазой.

Два или несколько гармонических колебаний с одинаковыми частотами и амплитудами могут отличаться друг от друга только начальными фазами. Между колебаниями имеется разность фаз, или, как часто говорят, сдвиг фаз φ_с. Если начальная фаза первого колебания равна φ₀₁, а второго φ₀₂, то сдвиг фаз второго колебания относительно первого равен:

φ_c = φ₀₂ - φ₀₁.                     (1.6.2)

На рисунке 1.10 изображены графики колебаний, сдвинутых по фазе на . График 1 соответствует колебаниям, совершающимся по синусоидальному закону с начальной фазой, равной нулю (φ₀₁ = 0):

x₁ = х_m sin ω₀t

График 2 соответствует колебаниям, сдвинутым по фазе на :

Начальная фаза этих колебаний

Так как то

x₂ = x_m cos ω₀t.

Таким образом, колебания, описываемые синусом и косинусом, представляют собой колебания со сдвигом фаз .

Определение амплитуды и начальной фазы из начальных условий

Уже упоминалось, что амплитуда и начальная фаза не определяются уравнением движения. Их значения зависят от начальной координаты х(0) = х₀ и начальной скорости х'(0) = υ₀. Значения x₀ и υ₀ определяются условиями возбуждения колебаний. Если вывести тело из положения равновесия и отпустить, не сообщая ему скорости, то х(0) = х0, а х'(0) = 0. Напротив, если сообщить телу начальную скорость, толкнув его в положении равновесия, то х(0) = 0, а х'(0) = υ₀.

Рассмотрим общий случай, когда при t = 0 х(0) ≠ 0 и х'(0) ≠ 0. Выбор решения в форме синуса или косинуса повлияет на начальную фазу, но не на амплитуду. Пусть решение уравнения (1.4.1) имеет вид:

х = х_m sin (ω₀t + φ₀).                     (1.6.3)

Тогда

х' = ω₀х_m cos (ω₀t + φ₀).                     (1.6.4)

При t = 0

х0 = хm sin φ0, υ0 = ω0хm cos φ0.                     (1.6.5)

Согласно уравнениям (1.6.5)

Это выражение определяет начальную фазу φ₀. В частном случае, если x₀ = 0, то tg φ₀ = 0 и φ₀ = 0. Если же υ₀ = 0, то tg φ₀ = ∞ и

Возведя в квадрат оба уравнения (1.6.6) и сложив их левые и правые части, получим:

Отсюда амплитуда колебаний

При υ₀ = 0 х_m = х₀, а при

Если бы мы выразили решение не через синус, а через косинус, то амплитуда по-прежнему имела бы значение, определяемое формулой (1.6.9), а начальная фаза определялась бы уравнением

Получите это выражение самостоятельно и рассмотрите предельные случаи x₀ = 0 и υ₀ = 0.