Глава 3. Механические колебания

§ 21. Динамика колебательного движения

Для того чтобы описать количественно колебания тела под действием силы упругости пружины или колебания шарика, подвешенного на нити, воспользуемся законами механики Ньютона.

Уравнение движения тела, колеблющегося под действием силы упругости

Согласно второму закону Ньютона произведение массы тела m на ускорение его равно равнодействующей F всех сил, приложенных к телу:

m = . (3.1)

Это — уравнение движения. Запишем уравнение движения для шарика, движущегося прямолинейно вдоль горизонтали под действием силы упругости пружины (см. рис. 3.3). Направим ось ОХ вправо. Пусть начало отсчета координат соответствует положению равновесия шарика (см. рис. 3.3, а).

В проекции на ось ОХ уравнение движения (3.1) можно записать так: mа_х = F_{x упр}, где а_х и F_x упр соответственно проекции ускорения и силы упругости пружины на эту ось.

Согласно закону Гука проекция F_{x ynp} прямо пропорциональна смещению шарика из положения равновесия. Смещение же равно координате х шарика, причем проекция силы и координата имеют противоположные знаки (см. рис. 3.3, б, в). Следовательно,

F_{x yпp} = -kх, (3.2)

Разделив левую и правую части уравнения (3.3) на m, получим

уравнение, описывающее колебания тела под действием силы упругости

Так как масса т и жесткость k — постоянные величины, то их отношение также постоянная величина.

Мы получили уравнение, описывающее колебания тела под действием силы упругости. Оно очень простое: проекция а_х ускорения тела прямо пропорциональна его координате х, взятой с противоположным знаком.

Уравнение движения математического маятника

При колебаниях шарика на нерастяжимой нити он все время движется по дуге окружности, радиус которой равен длине нити l. Поэтому положение шарика в любой момент времени определяется одной величиной — углом α отклонения нити от вертикали. Будем считать угол α положительным, если маятник отклонен вправо от положения равновесия, и отрицательным, если он отклонен влево (см. рис. 3.5). Касательную к траектории будем считать направленной в сторону положительного отсчета углов.

Обозначим проекцию силы тяжести на касательную к траектории маятника через F _τ. Эта проекция в момент, когда нить маятника отклонена от положения равновесия на угол α, равна:

F_τ = -mg sin α. (3.5)

Знак «-» здесь стоит потому, что величины F_τ и а имеют противоположные знаки. При отклонении маятника вправо (α > 0) составляющая силы тяжести _τ направлена влево и ее проекция отрицательна: F_τ < 0. При отклонении маятника влево (α < 0) эта проекция положительна: F _τ > 0.

Окончание >>>