Главная >> Физика 11 кл. Мякишев

Глава 3. Механические колебания

Динамика колебательного движения

Обозначим проекцию ускорения маятника на касательную к его траектории через а_τ. Эта проекция характеризует быстроту изменения модуля скорости маятника.

Согласно второму закону Ньютона

mа_τ = F_τ,

или

mа_τ = -mg sin α.                         (3.6)

Разделив левую и правую части этого уравнения на m, получим

а_τ = -g sin α. α.                         (3.7)

Ранее предполагалось, что углы отклонения нити маятника от вертикали могут быть любыми. В дальнейшем будем считать их малыми. При малых углах, если угол измерен в радианах,

sin α ≈ α.

Следовательно, можно принять

а_τ = -gα. α.                         (3.8)

Если угол α мал, то проекция ускорения примерно равна проекции ускорения на ось ОХ: а_τ ≈ а_x (см. рис. 3.5). Из треугольника AВО для малого угла а имеем:

Подставив это выражение в равенство (3.8) вместо угла α, получим

Это уравнение имеет такой же вид, что и уравнение (3.4) для ускорения шарика, прикрепленного к пружине. Следовательно, и решение этого уравнения будет иметь тот же вид, что и решение уравнения (3.4). Это означает, что движение шарика и колебания маятника происходят одинаковым образом. Смещения шарика на пружине и тела маятника от положений равновесия изменяются со временем по одному и тому же закону, несмотря на то, что силы, вызывающие колебания, имеют различную физическую природу. Умножив уравнения (3.4) и (3.10) на m и вспомнив второй закон Ньютона mа_х = F_{x peз}, можно сделать вывод, что колебания в этих двух случаях совершаются под действием сил, равнодействующая которых прямо пропорциональна смещению колеблющегося тела от положения равновесия и направлена в сторону, противоположную этому смещению.

Уравнение (3.4), как и (3.10), на вид очень простое: ускорение прямо пропорционально координате (смещению от положения равновесия).

<<< К началу