§ 18. Свободные механические колебания (окончание)

Математический маятник

4. Математический маятник — ещё одна модель колебательной системы — представляет собой небольшой груз, подвешенный на длинной нити (см. рис. 68). При построении этой модели пренебрегают размерами груза по сравнению с длиной нити и массой нити по сравнению с массой груза.

В положении равновесия на груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости _ynp, направленные по одной прямой в разные стороны и уравновешивающие друг друга. При отклонении маятника от положения равновесия силы будут направлены под углом друг другу, и их равнодействующая будет возвращать маятник в положение равновесия. Благодаря инертности он пройдёт положение равновесия, отклонится в другую сторону, и процесс будет повторяться.

Равнодействующая сил, действующих на груз, направлена по касательной к дуге, по которой движется груз. При малом угле а можно считать, что груз маятника движется по хорде, вдоль которой направим координатную ось X (рис. 70).

Рис. 70

Проекция на ось X равнодействующей F равна проекции силы тяжести F = mgsin α. По второму закону Ньютона F = mа. Поскольку где l — длина нити, то с учётом направления силы и смещения маятника запишем

Мы получили для двух рассмотренных колебательных систем одинаковые по форме равенства: ускорение маятника прямо пропорционально его смещению, взятому с противоположным знаком. Колебания, происходящие по такому закону, называют гармоническими.

Вопросы для самопроверки

1. Какие системы тел называют колебательными? При каких условиях в них могут возникнуть колебания?

2. Что представляет собой колебательная система пружинный маятник; математический маятник?

3. Назовите величины, характеризующие механические колебания. Дайте определение каждой характеристике колебаний.

Упражнение 15

1. Чему равен путь, пройденный грузом пружинного маятника за 5 полных колебаний, если амплитуда колебаний 2 см?

2. Чему равна частота колебаний математического маятника, если первый раз он проходит положение равновесия через 0,2 с после начала колебаний?

3. Чему равен модуль ускорения колебаний маятника в его крайнем положении, если длина маятника 80 см, а амплитуда колебаний 4 см?

4. Чему равен модуль ускорения колебаний пружинного маятника в точке, координата которой 1 см, если жёсткость пружины 60 Н/м, а масса груза 200 г?

Ответы

1. 40 см.

2. 1,25 Гц.

3. 0,5 м/с².

4. 3 м/с².

<<< К началу