§ 19. Гармонические колебания

Уравнение гармонических колебаний

1. Выясним, как зависит координата колеблющегося тела от времени. Для этого проведём аналогию между колебательным и вращательным движениями. Предположим, что некоторая точка движется по окружности с постоянной по модулю линейной скоростью v. При этом проекция на ось ОХ точки, находящейся на окружности, совершает колебательное движение вдоль этой оси. Период обращения точки по окружности Т, радиус окружности — х_m.

Пусть в начальный момент времени точка находилась в положении А (рис. 71).

Рис. 71

Её координата равна х_m. В момент времени t точка будет находиться в положении В и её координата равна некоторому значению х. За время t радиус-вектор ОА повернётся на угол φ, поэтому проекция радиуса-вектора ОB на ось ОХ равна

х = OBcos φ или х = x_mcos φ.

Из курса физики основной школы вы знаете, что физическую величину, равную отношению угла поворота радиуса-вектора к промежутку времени, за которое этот поворот произошёл, называют угловой скоростью. Обозначают угловую скорость буквой ω, её единица в СИ — радиан в секунду (рад/с).

Следовательно, угол поворота точки φ = ωt и уравнение колебаний имеет вид

x = x_mcos ωt.

Оно выражает зависимость координаты колеблющегося тела от времени. Зависимость координаты колеблющегося тела от времени может выражаться и через синус. Вид тригонометрической функции зависит от начального состояния колебательной системы: если в начальный момент времени смещение относительно положения равновесия максимально, то в уравнении стоит косинус; если в начальный момент времени система находилась в состоянии равновесия, то в уравнение удобнее поставить синус.

Гармоническими колебаниями называют колебания, которые происходят по закону косинуса или синуса.

Графиком зависимости смещения при гармоническом колебании от времени является косинусоида (синусоида) (рис. 72).

Рис. 72

Величину, состоящую в уравнении колебаний под знаком косинуса (или синуса), называют фазой колебаний φ.

φ = ωt.

Единица фазы в СИ — радиан (рад).

Величину ω называют циклической частотой колебаний. Чтобы понять физический смысл этой величины, следует вспомнить, что значения косинуса (или синуса) повторяются при изменении аргумента на 2π.

Например, в момент времени t = 0 координата тела, совершающего гармонические колебания, равна

х = x_mcos (ω • 0) = x_mcos 0 = х_m.

Тело вернётся в точку с той же координатой, совершив одно полное колебание, т. е. через время, равное периоду Т:

х = x_mcos ωТ.

Значения аргументов в моменты времени t = 0 и t = Т должны отличаться на 2π, т. е.:

ωТ - 0 = 2π, или ωT = 2π.

Откуда

Таким образом,

циклическая частота равна числу колебаний, которое совершает тело за 2π секунд.

Единица циклической частоты в СИ — радиан в секунду (рад/с).

Продолжение >>>