Окружность, описанная около правильного многоугольника

Напомним, что окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на этой окружности. Докажем теорему об окружности, описанной около правильного многоугольника.

Теорема

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Доказательство

Пусть А₁А₂А₃...А_n — правильный многоугольник, О — точка пересечения биссектрис углов А₁ и А₂ (рис. 307).

Рис. 307

Соединим точку О отрезками с остальными вершинами многоугольника и докажем, что ОА₁ = ОА₂ = ... = ОА_n. Так как ∠A₁ = ∠A₂, то ∠1 = ∠3, поэтому треугольник А₁А₂O равнобедренный: в нём ОА₁ = ОА₂. Треугольники А₁A₂О и А₂А₃О равны по двум сторонам и углу между ними (A₁A₂ = А₃А₂, А₂O — общая сторона и ∠3 = ∠4), следовательно, ОА₃ = ОА₁. Точно так же можно доказать, что ОА₄ = ОА₂, ОА₅ = ОА₃ и т. д.

Итак, ОА₁ = ОА₂ = ... = ОАn, т. е. точка О равноудалена от всех вершин многоугольника. Поэтому окружность с центром О и радиусом OA₁ является описанной около многоугольника.

Докажем теперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например А₁, А₂, А₃. Так как через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника A₁A₂A₃...A_n можно описать только одну окружность. Теорема доказана.