Наложения и движения

Напомним, что в нашем курсе геометрии равенство фигур определяется с помощью наложений. Мы говорим, что фигура Ф равна фигуре Фп если фигуру Ф можно совместить наложением с фигурой Ф₁. Понятие наложения в нашем курсе относится к основным понятиям геометрии, поэтому определение наложения не даётся. Под наложением фигуры Ф на фигуру Ф₁ мы понимаем некоторое отображение фигуры Ф на фигуру Ф₁ Более того, мы считаем, что при этом не только точки фигуры Ф, но и любая точка плоскости отображается в определённую точку плоскости, т. е. наложение — это отображение плоскости на себя.

Однако не всякое отображение плоскости на себя мы называем наложением. Наложения — это такие отображения плоскости на себя, которые обладают свойствами, выраженными в аксиомах (см. приложение 1, аксиомы 7—13). Эти аксиомы позволяют доказать все те свойства наложений, которые мы себе представляем наглядно и которыми пользуемся при доказательстве теорем и решении задач. Докажем, например, что при наложении различные точки отображаются в различные точки.

В самом деле, предположим, что это не так, т. е. при некотором наложении какие-то две точки А и В отображаются в одну и ту же точку С. Тогда фигура Ф₁, состоящая из точек А и В, равна фигуре Ф₂, состоящей из одной точки С. Отсюда следует, что Ф₂ = Ф₁ (аксиома 12), т. е. при некотором наложении фигура Ф₂ отображается в фигуру Ф₁. Но это невозможно, так как наложение — это отображение, а при любом отображении точке С ставится в соответствие только одна точка плоскости.

Из доказанного утверждения следует, что при наложении отрезок отображается на равный ему отрезок. Действительно, пусть при наложении концы А и В отрезка АВ отображаются в точки А₁ и В₁. Тогда отрезок АВ отображается на отрезок А₁В₁ (аксиома 7), и, следовательно, отрезок АВ равен отрезку А₁В₁. Так как равные отрезки имеют равные длины, то наложение является отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния, т. е. любое наложение является движением плоскости.

Докажем, что верно и обратное утверждение.

Окончание >>>