Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Докажем теорему об углах с соответственно параллельными сторонами.

Теорема

Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180°.

Доказательство

Пусть ∠AOB и ∠A₁O₁B₁ — данные углы и ОА || О₁А₁, ОВ || О₁В₁. Если угол АОВ развёрнутый, то и угол А₁О₁В₁ — развёрнутый (объясните почему), поэтому эти углы равны. Пусть ∠AOB — неразвёрнутый угол. Возможные случаи расположения углов АОВ и А₁О₁В₁ изображены на рисунке 115, а и б. Прямая О₁В₁ пересекает прямую О₁А₁ и, следовательно, пересекает параллельную ей прямую ОА в некоторой точке М. Параллельные прямые ОВ и О₁В₁ пересечены секущей ОМ, поэтому один из углов, образованных при пересечении прямых О₁В₁ и ОА (угол 1 на рисунке 115), равен углу АОВ (как накрест лежащие углы). Параллельные прямые ОА и О₁А₁ пересечены секущей О₁М, поэтому либо ∠1 = ∠A₁O₁B₁ (рис. 115, а), либо ∠1 + ∠A₁O₁B₁ = 180° (рис. 115, б). Из равенства ∠1 = ∠AOB и последних двух равенств следует, что либо ∠AOB = ∠A₁O₁B₁ (см. рис. 115, а), либо ∠AOB + ∠A₁O₁B₁ = 180° (см. рис. 115, б). Теорема доказана.

рис. 115

Докажем теперь теорему об углах с соответственно перпендикулярными сторонами.

Теорема

Если стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие утлы или равны, или в сумме составляют 180°.

Доказательство

Пусть ∠AOB и ∠A₁O₁B₁ — данные углы, OA ⊥ O₁A₁, OB ⊥ O₁B₁. Если угол АОВ развёрнутый или прямой, то и угол А₁О₁В₁ развёрнутый или прямой (объясните почему), поэтому эти углы равны. Пусть ∠AOB < 180°, О ∉ О₁А₁, О ∉ О₁В₁ (случаи О ∈ O₁А₁, О ∈ О₁В₁ рассмотрите самостоятельно).

Возможны два случая (рис. 116).

1⁰. ∠AOB < 90° (см. рис. 116, а). Проведём луч ОС так, чтобы прямые ОА и ОС были взаимно перпендикулярными, а точки В и С лежали по разные стороны от прямой О А. Далее, проведём луч OD так, чтобы прямые ОВ и OD были взаимно перпендикулярными, а точки С и D лежали по одну сторону от прямой О А. Поскольку ∠AOB = 90° - ∠AOD и ∠COD = 90° - ∠AOD, то ∠AOB = ∠COD. Стороны угла COD соответственно параллельны сторонам угла А₁О₁В₁ (объясните почему), поэтому либо ∠COD = ∠A₁O₁B₁, либо ∠COD + ∠A₁O₁B₁ = 180°. Следовательно, либо ∠AOB = ∠A₁O₁B₁, либо ∠AOB + ∠A₁O₁B₁ = 180°.

2⁰. ∠AOB > 90° (см. рис. 116, б). Проведём луч ОС так, чтобы угол АОС был смежным с углом АОВ. Угол АОС острый, и его стороны соответственно перпендикулярны сторонам угла А₁О₁В₁. Следовательно, либо .∠AOC + ∠A₁O₁B₁ = 180°, либо ∠AOC = ∠A₁O₁B₁. В первом случае ∠AOB = ∠A₁O₁B₁, во втором случае ∠AOB + ∠A₁O₁B₁ = 180°. Теорема доказана.