Параллелограмм

Определение

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

На рисунке 157 изображён параллелограмм ABCD: АВ || CD, AD || ВС. Параллелограмм является выпуклым четырёхугольником (см. задачу 378).

рис. 157

Рассмотрим некоторые свойства параллелограмма.

1⁰. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис. 158). Диагональ АС разделяет его на два треугольника: АВС и ADC. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (АС — общая сторона, ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей АС параллельных прямых АВ и CD, AD и ВС соответственно). Поэтому

AB = CD, AD = ВС и ∠B = ∠D.

Далее, пользуясь равенствами углов 1 и 2, 3 и 4, получаем

∠A = ∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠4 = ∠C.

рис. 158

2⁰. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

рис. 158

Пусть О — точка пересечения диагоналей АС и BD параллелограмма ABCD (рис. 159). Треугольники АОВ и COD равны по стороне и двум прилежащим углам (АВ = CD как противоположные стороны параллелограмма, ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущими АС и BD соответственно). Поэтому АО = ОС и OB = OD, что и требовалось доказать.

рис. 159

Рисунок 160 иллюстрирует все рассмотренные свойства.