Основные сведения об алгоритмах

1. Перечислите основные свойства алгоритмов и проиллюстрируйте их примерами.

2. Почему кулинарный рецепт приготовления торта нельзя считать алгоритмом? Какими свойствами алгоритма он не обладает?

3. Переформулируйте описание способа проведения перпендикуляра к прямой в заданной точке так, чтобы оно стало алгоритмом.

4. Есть двое песочных часов: на 3 и на 8 минут. Для приготовления эликсира бессмертия его надо варить ровно 7 минут. Как это сделать?

Придумайте систему команд исполнителя Колдун. Запишите с их помощью план действий исполнителя по приготовлению эликсира.

5. Исполнитель Вычислитель получает на вход целое число х и может выполнять с ним преобразования по алгоритму, состоящему из любого количества команд: 1) прибавить 5; 2) вычесть 2.

Сколько разных алгоритмов, состоящих из пяти команд, можно составить для этого исполнителя? Сколько из них будут приводить к одинаковым результатам для заданного числа х?

6. Как известно, для каждого исполнителя набор допустимых действий всегда ограничен, иначе говоря, не может существовать исполнителя, для которого любое действие является допустимым. Докажите это утверждение, предположив, что такой исполнитель существует.

7. Перечислите известные вам способы записи алгоритмов.

8. Приведите примеры задач и оптимальных способов записи алгоритмов их решения.

9. Исполнитель Автомат получает на вход четырёхзначное число. Это число он преобразует по следующему алгоритму:

1) вычисляется сумма первой и второй цифр числа;
2) вычисляется сумма второй и третьей цифр числа;
3) вычисляется сумма третьей и четвёртой цифр числа;
4) из полученных трёх чисел (сумм) выбирается и отбрасывается одно — не превышающее двух других чисел;
5) оставшиеся два числа записываются друг за другом в порядке неубывания без разделителей.

Так, если исходное число 9575, то, преобразуя его, автомат создаст суммы: 9 + 5 = 14, 5 + 7 = 12, 7 + 5 = 12. Сумма, не превышающая двух других, 12. Оставшиеся суммы: 14, 12. Результат: 1214.

Опишите систему команд этого исполнителя.

Могут ли результатом работы этого исполнителя быть числа 1610, 1010, 1019?

Укажите минимальное и максимальное значения результата работы этого исполнителя.

При обработке некоторого числа х автомат выдаёт результат 1418. Укажите наименьшее и наибольшее значения х, при которых возможен такой результат.

10. Подготовьте краткое сообщение об одном из учёных (А. Тьюринг, Э. Пост, А. Н. Колмогоров, А. А. Марков и др.), внёсших вклад в развитие теории алгоритмов.

11. В чём отличие шага алгоритма от команды алгоритма? Приведите пример.

12. Что такое сложность алгоритма? От чего она зависит в наибольшей степени?

13. Подсчитайте сложность алгоритма перемножения двух натуральных чисел «столбиком» при условии, что одно из них состоит из n, а второе — из m десятичных цифр.

14. Какой алгоритм считается эффективным?

15. Постройте эффективный алгоритм возведения числа х в степень n = 152.