1.1.1. Общие сведения о системах счисления (окончание)

Десятичная система

Десятичная система записи чисел, которой мы привыкли пользоваться в повседневной жизни, с которой мы знакомы с детства, в которой производим все наши вычисления, — пример позиционной системы счисления. Алфавит десятичной системы составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Алгоритмические числа образуются в ней следующим образом: значения цифр умножаются на «веса» соответствующих разрядов, и все полученные значения складываются. Это отчётливо прослеживается в числительных русского языка, например: «три-ста пять-десят семь».

Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1. Алфавитом произвольной позиционной системы счисления с основанием q служат числа 0, 1, ..., q—1, каждое из которых может быть записано с помощью одного уникального символа; младшей цифрой всегда является 0.

Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любых чисел.

В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:

А_q = ± (а_n-1 • q^n-1 + а_n-2 • q^n-2 + ... + а₀ • q⁰ + а_-1 • q^-1 + ... + а_-m • q^-m). (1)

Здесь:

А — число;
q — основание системы счисления;
а_i — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
n — количество целых разрядов числа;
m — количество дробных разрядов числа;
qⁱ — «вес» i-го разряда.

Запись числа по формуле (1) называется развёрнутой формой записи
Свёрнутной формой записи числа называется его представление в виде¹ ± a_n-1a_n-2...a₁a₀,a_-1...a_-m.

¹ Далее будут рассматриваться только положительные целые числа.

Пример 3. Рассмотрим десятичное число 14351,1. Его свёрнутая форма записи настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме переходим к развёрнутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и складывая полученные произведения:

1 • 10⁴ + 4 • 10³ + 3 • 10² + 5 • 10¹ + 1 • 10⁰ + 1 • 10^-1.

<<< К началу