1.1.2. Двоичная система счисления

Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2. Для записи чисел в двоичной системе счисления используются только две цифры: 0 и 1.

На основании формулы (1) для целых двоичных чисел можно записать:

а_n-1а_n-2...а₁а₀ = a_n-1 • 2^n-1 + а_n-2 • 2^n-2 +...+ а₀ • 20. (1')

Например:

10011₂ = 1 • 2⁴ + 0 • 2³ + 0 • 2² + 1 • 2¹ + 1 • 2⁰ = 2⁴ + 2¹ + 2⁰ = 19₁₀.

Такая форма записи «подсказывает» правило перевода натуральных двоичных чисел в десятичную систему счисления: необходимо вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа.

Получим правило перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления из формулы (1').

Разделим а_n-1 • 2^n-1 + а_n-2 • 2^n-2 + ... + а₀ • 2⁰ на 2. Частное будет равно а_n-1 • 2^n-2 + ... + а₁, а остаток будет равен а₀.

Полученное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет равен а₁.

Если продолжить этот процесс деления, то на n-м шаге получим набор цифр:

а₀, а₁, а₂, ... а_n-1,.

которые входят в двоичное представление исходного числа и совпадают с остатками при его последовательном делении на 2.

Таким образом, для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления нужно последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 2 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в двоичной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.

Пример 4. Переведём десятичное число 11 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) можно изобразить так:

Выписывая остатки от деления в направлении, указанном стрелкой, получим: 11₁₀ = 1011₂.

Пример 5. Если десятичное число достаточно большое, то более удобен следующий способ записи рассмотренного выше алгоритма:

363₁₀ = 101101011₂