§ 3.3. Почему справедлив закон Ома?

Рассмотренная модель металла позволяет объяснить основные, известные нам из опыта, закономерности прохождения тока в металлах. Исходя из этой модели, можно теоретически получить закон Ома для участка цепи.

Сила сопротивления движению заряженных частиц

При постоянной силе тока средняя скорость упорядоченного движения свободных электронов, согласно выражению (2.2.7), постоянна: υ = const. Но при этом на электроны действует со стороны поля постоянная сила

Движение без ускорения под действием постоянной силы возможно лишь при наличии силы сопротивления со стороны среды, в которой движется заряженная частица (электрон). Эта сила зависит от скорости частицы и при скорости, равной нулю, должна быть тоже равна нулю. Иначе слабое поле не могло бы вызвать упорядоченное перемещение частиц.

Если электрическое поле перестает действовать на заряженные частицы, ток быстро прекращается. Это означает прекращение упорядоченного движения частиц из-за сопротивления среды. Время, за которое практически прекращается упорядоченное движение, называется временем релаксации. Это то время, за которое заряженные частицы полностью «забывают» свое начальное состояние упорядоченного движения.

При малых скоростях движения свободных электронов (а эти скорости, как мы знаем, действительно малы) силу сопротивления можно считать прямо пропорциональной скорости:

Коэффициент k считаем не зависящим от скорости. Это первое основное допущение, которое мы делаем при обосновании эмпирического закона Ома. Независимость k от υ фактически означает независимость k от электрического поля в проводнике.

Уравнение движения для модулей векторных величин (второй закон Ньютона), определяющее скорость упорядоченного движения частиц, имеет вид:

где F = еЕ — постоянная сила, действующая со стороны поля на электрон.

В частности, если в момент времени t = 0 сила F оказалась равной нулю, а скорость упорядоченного движения в этот момент υ(0) = υ₀, то уравнение движения свободных электронов упрощается:

Из уравнения (3.3.3) видно, что быстрота убывания скороети от υ₀ до 0 прямо пропорциональна отношению . Величина, обратная , имеет размерность времени. Введя величину

вместо уравнения (3.3.3) получим уравнение

Именно величина т определяет время уменьшения скорости упорядоченного движения до нуля. При данной начальной скорости упорядоченного движения это время ни от чего больше зависеть не может. Чем больше τ, тем медленнее происходит убывание скорости. Это и понятно: бо́льшим τ соответствует большая масса частиц и малый коэффициент сопротивления. Поэтому можно предположить, что τ определяет время релаксации. Действительно, уравнение (3.3.3) при переходе к пределу при Δt → 0 оказывается дифференциальным уравнением первого порядка:

Решение его выражается через экспоненциальную функцию:

где е = 2,17 — основание натуральных логарифмов, a υ₀ — начальная скорость (υ = υ₀ при t = 0). То, что именно эта функция является решением дифференциального уравнения, можно проверить подстановкой ее в исходное дифференциальное уравнение. Для этого нужно только уметь вычислять производную экспоненциальной функции.

Из решения уравнения видно, что τ — это время, за которое скорость упорядоченного движения уменьшается в е раз. Таким образом, за время τ упорядоченное движение не исчезает совсем, но резко замедляется.

Вывод закона Ома

При установившемся движении и из уравнения (3.3.2) мы можем найти скорость упорядоченного движения электронов.

Подставив в уравнение (3.3.2) значение k из соотношения (3.3.4), будем иметь

Согласно определению (2.2.1) и с учетом выражения (3.3.5) для плотности тока в металлическом проводнике получим:

Сравнивая выражения (3.3.6) и (2.4.10), видим, что удельная проводимость равна:

Сделаем второе предположение: концентрация заряженных частиц (электронов) n, как и время τ, не зависит от напряженности поля. Тогда удельная проводимость будет постоянной величиной, не зависящей от поля. Это и означает выполнение закона Ома (2.4.10) в дифференциальной форме. Отсюда, разумеется, следует закон Ома в форме (2.4.2) или (2.4.3).

Все значение закона Ома тем и определяется, что для многих веществ в широких интервалах приложенного к проводнику напряжения удельная проводимость у остается неизменной. Из-за этого закон Ома, не являясь фундаментальным законом природы, чрезвычайно важен.

Окончание параграфа >>>