§ 1.5. Оценка предела прочности и модуля Юнга ионных кристаллов

Закон Кулона справедлив не только для заряженных макроскопических тел, но и для отдельных микрочастиц: ионов и элементарных частиц.

С помощью закона Кулона можно количественно оценить механические свойства ионных кристаллов: определить предел прочности кристаллов и вычислить (приближенно) модуль Юнга. В механике эти величины определяются экспериментально.

Сила взаимодействия двух ионов

Рассмотрим ионный кристалл поваренной соли NaCl. Равновесное расстояние между соседними ионами в кристалле r₀ ≈ 3 • 10^-10 м (рис. 1.7).

ионный кристалл поваренной соли

Эксперименты с наиболее прочными кристаллами показывают, что их максимальная относительная деформация растяжения перед разрушением не превышает 10—20%. Будем считать максимальную относительную деформацию При этой деформации смещение ионов от положения равновесия Δr = ε_maxr₀. Расстояние между ионами в момент достижения максимальной деформации равно: г = r₀ + Δr = r₀(1+ ε_max)(РИС. 1.8).

Заряд каждого иона по модулю равен элементарному заряду е. Согласно закону Кулона сила взаимодействия двух ионов на расстоянии г равна:

сила взаимодействия двух ионов

Таково по порядку величины максимальное значение силы межионной связи.

Прочность кристалла при растяжении

При растяжении образца предел прочности определяется максимальным значением результирующей силы межионного притяжения, приходящейся на элемент сечения единичной площади, перпендикулярный направлению растяжения.

Если на поверхности площадью S имеется N связей (т. е. ионов), то полная сила, действующая между всеми ионами в сечении, перед разрушением образца равна F = NF_max. Отсюда максимальное напряжение

где F_max определяется формулой (1.5.1). Оценим эту величину. Диаметр иона приближенно равен расстоянию между ионами в равновесии, т. е. r₀. Тогда число ионов (а значит, и связей) в сечении единичной площади приближенно равно:

Следовательно, теоретическое значение предела прочности кристалла NaCl равно:

Конечно, нельзя считать, что эта оценка получена чисто теоретически, исходя из определенных представлений о строении вещества. Мы ведь заимствовали из эксперимента значение ε_max перед разрушением (см. рис. 1.8, на котором схематически изображен разрыв кристалла).

Оценка модуля Юнга

Чтобы оценить модуль Юнга, нужно сделать еще одно довольно грубое допущение. Будем считать, что закон Гука выполняется при любых деформациях, вплоть до разрыва. Тогда σ_пч = Еε_max, где Е — модуль Юнга. Отсюда

Результат расчета неплохо согласуется с экспериментальным значением модуля Юнга для поваренной соли E ≈ 4 • 10¹⁰ Па.